Resolva as seguintes inequações em R :
raiz(x - 1) < 1 + raiz(4 - x)

Passo 1

Vamos analisar a inequação dada: . Aqui estamos lidando com uma inequação que envolve raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra e propriedades das inequações.

Passo 2

Primeiro, é importante determinar o domínio da inequação, ou seja, os valores de x para os quais as expressões dentro das raízes quadradas são definidas (não negativas).
  • Para , o que está dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero:
  • Para , também devemos ter:
Portanto, o domínio da inequação é:

Passo 3

Agora, vamos resolver a inequação dentro desse intervalo de x. A inequação é:
Para simplificar, podemos isolar as raízes:

Passo 4

Para eliminar as raízes quadradas, vamos elevar ambos os lados da inequação ao quadrado. Mas atenção: ao fazer isso, precisamos garantir que ambos os lados são não negativos, o que é válido aqui.
Expandindo o lado esquerdo:
Simplificando:

Passo 5

Isolando a raiz quadrada:
Dividindo ambos os lados por -2 (lembre-se de inverter o sinal da inequação ao dividir por um número negativo):

Passo 6

Agora, novamente, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Expandindo:
Simplificando:
Reorganizando:
Multiplicando ambos os lados por -1 (e invertendo o sinal da inequação):

Passo 7

Vamos resolver a inequação quadrática . Para isso, calculamos o discriminante:
As raízes são:
A inequação é satisfeita para valores de x entre as duas raízes:

Resposta

A solução da inequação é:

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