Use o PIF para provar que
para todo
natural. [Lembrete:
.]
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a soma dos cubos dos números ímpares até o
-ésimo termo é igual a
. Vamos usar o Princípio da Indução Matemática (PIM) para fazer isso. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a soma de termos em uma sequência e aplicar a indução para mostrar que a fórmula vale para todo número natural
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para o primeiro caso, ou seja, quando
. Isso é chamado de base da indução.
Quando
:
E pela fórmula:
Então, a base da indução é verdadeira, porque
.
Passo 3
Agora, vamos assumir que a afirmação vale para algum número natural
. Ou seja, vamos supor que:
Isso é o que chamamos de hipótese de indução.
Passo 4
Precisamos provar que, se a hipótese de indução é verdadeira para
, então ela também é verdadeira para
. Vamos calcular a soma até
:
Usando a hipótese de indução:
Passo 5
Agora, vamos expandir
usando a fórmula do cubo:
Substituindo de volta na soma:
Vamos distribuir e combinar termos semelhantes:
Passo 6
Agora, vamos verificar se essa expressão é igual a
.
Primeiro, calculemos
:
E
:
Multiplicando os dois resultados:
Vamos expandir essa multiplicação:
Perceba que isso é exatamente igual à soma que obtivemos anteriormente!
Resposta
Portanto, por indução matemática, provamos que:
para todo
natural.
Exercícios relacionados
Seja
um número real fixado. Use o PIF para provar que, para todo número natural
, temos
Sejam
e
conjuntos arbitrários. Prove que
se, e somente se,
.
Sejam
e
.
Determine .
Determine
Resolva as seguintes inequações em
: