Use o PIF para provar que
sumi=1^n(2 i-1)^3=n^2(2 n^2-1)
para todo n>0 natural. [Lembrete: (a-b)^3=a^3-3 a^2 b+3 a b^2-b^3.]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a soma dos cubos dos números ímpares até o -ésimo termo é igual a . Vamos usar o Princípio da Indução Matemática (PIM) para fazer isso. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a soma de termos em uma sequência e aplicar a indução para mostrar que a fórmula vale para todo número natural .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para o primeiro caso, ou seja, quando sumi=1^1(2i-1)^3 = (2 times 1 - 1)^3 = 1^3 = 1 . Isso é chamado de base da indução.
Quando 1^2(2 times 1^2 - 1) = 1 times (2 - 1) = 1 :
E pela fórmula:
Então, a base da indução é verdadeira, porque .

Passo 3

Agora, vamos assumir que a afirmação vale para algum número natural sumi=1^k(2i-1)^3 = k^2(2k^2 - 1) . Ou seja, vamos supor que:
Isso é o que chamamos de hipótese de indução.

Passo 4

Precisamos provar que, se a hipótese de indução é verdadeira para sumi=1^k+1(2i-1)^3 = sumi=1^k(2i-1)^3 + (2(k+1)-1)^3 , então ela também é verdadeira para = k^2(2k^2 - 1) + (2k + 1)^3 . Vamos calcular a soma até :
Usando a hipótese de indução:

Passo 5

Agora, vamos expandir (2k + 1)^3 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1 usando a fórmula do cubo:
k^2(2k^2 - 1) + 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1
Substituindo de volta na soma:
= 2k^4 - k^2 + 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1
Vamos distribuir e combinar termos semelhantes:
= 2k^4 + 8k^3 + 11k^2 + 6k + 1

Passo 6

Agora, vamos verificar se essa expressão é igual a (k + 1)^2 = k^2 + 2k + 1 .
Primeiro, calculemos 2(k^2 + 2k + 1) - 1 = 2k^2 + 4k + 2 - 1 = 2k^2 + 4k + 1 :
(k^2 + 2k + 1)(2k^2 + 4k + 1)
E = k^2(2k^2 + 4k + 1) + 2k(2k^2 + 4k + 1) + 1(2k^2 + 4k + 1) :
= 2k^4 + 4k^3 + k^2 + 4k^3 + 8k^2 + 2k + 2k^2 + 4k + 1
Multiplicando os dois resultados:
= 2k^4 + 8k^3 + 11k^2 + 6k + 1
Vamos expandir essa multiplicação:
Perceba que isso é exatamente igual à soma que obtivemos anteriormente!

Resposta

Portanto, por indução matemática, provamos que:
sumi=1^n(2i-1)^3 = n^2(2n^2 - 1)
para todo natural.

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Determine B - A.
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raiz(x - 1) < 1 + raiz(4 - x)