Resolva as seguintes inequações trigonométricas:
(f) tg x < 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação trigonométrica . Isso faz parte da matéria de trigonometria, onde a gente aprende sobre funções trigonométricas e como resolver inequações envolvendo elas. Para resolver isso, vamos precisar entender o comportamento da função tangente e saber onde ela é menor que 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função tangente, tg x, é definida como . A tangente tem um período de , o que significa que seu comportamento se repete a cada pi radianos. Além disso, a tangente tem assíntotas verticais onde pi, ou seja, em , onde é qualquer inteiro.

Passo 3

Agora, vamos analisar onde . Isso equivale a encontrar os valores de x para os quais . Podemos reescrever essa inequação multiplicando ambos os lados por , lembrando que o sinal da desigualdade pode mudar dependendo do sinal de cos(x):
  1. Se cos(x), então:
    2. Se , então:

Passo 4

Vamos resolver cada caso separadamente.
Caso 1:
Isso acontece nos intervalos onde x está entre e para qualquer inteiro k.
Dentro desse intervalo, a inequação pode ser dividida por (que é positivo), resultando em:
cos(x)
Sabemos que em , então dentro desse intervalo, quando está entre x e .
Caso 2:
Isso acontece nos intervalos onde está entre x e para qualquer inteiro .
Dentro desse intervalo, a inequação também resulta em k, pois dividimos por negativo e a desigualdade se inverte.

Passo 5

Juntando os dois casos, concluímos que a inequação é satisfeita quando:
para qualquer inteiro k.

Resposta

A solução da inequação é:
para todo número inteiro k.

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