Resolva as seguintes inequações na variável x, e represente o conjunto solução S nos seguintes formatos: na forma de intervalo, e também caracterizando S por meio da propriedade satisfeita pelos seus elementos.
x/(x-3)<4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a inequação . Estamos lidando com inequações racionais, que envolvem frações com polinômios no numerador e denominador. Para resolver isso, vamos precisar:
  • Isolar a variável x.
  • Analisar os pontos onde o denominador é zero, pois aí a expressão não existe.
  • Considerar os intervalos definidos por esses pontos para verificar onde a inequação é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos subtrair 4 de ambos os lados para deixar a inequação com zero:
Agora, para facilitar, vamos transformar esse “4” em uma fração com o mesmo denominador:

Passo 3

Agora, vamos juntar as frações:
Distribuindo o -4:
Simplificando:
Podemos fatorar o numerador:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a expressão muda de sinal. Esses pontos são onde o numerador ou o denominador são zero:
  • Numerador:
  • Denominador:
Então, os pontos críticos são e .

Passo 5

Esses pontos dividem a reta numérica em três intervalos:
Vamos testar cada intervalo para ver onde a inequação é verdadeira.

Passo 6

Intervalo 1:
Escolha x = 2:
Verdadeiro.

Passo 7

Intervalo 2:
Escolha :
Falso.

Passo 8

Intervalo 3:
Escolha :
Verdadeiro.

Passo 9

Agora, precisamos considerar os pontos críticos:
  • Em , a expressão não está definida (denominador zero).
  • Em , o numerador é zero, então , que não é menor que zero.
Portanto, não faz parte da solução.

Resposta

O conjunto solução S é:
  • Forma de intervalo:
  • Caracterização por propriedade: Todos os valores de x menores que 3 ou maiores que 4 satisfazem a inequação .

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