Resolva as seguintes inequações na variável
, e represente o conjunto solução
nos seguintes formatos: na forma de intervalo, e também caracterizando
por meio da propriedade satisfeita pelos seus elementos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a inequação
. Estamos lidando com inequações racionais, que envolvem frações com polinômios no numerador e denominador. Para resolver isso, vamos precisar:
- Isolar a variável
. - Analisar os pontos onde o denominador é zero, pois aí a expressão não existe.
- Considerar os intervalos definidos por esses pontos para verificar onde a inequação é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos subtrair 4 de ambos os lados para deixar a inequação com zero:
Agora, para facilitar, vamos transformar esse “4” em uma fração com o mesmo denominador:
Passo 3
Agora, vamos juntar as frações:
Distribuindo o -4:
Simplificando:
Podemos fatorar o numerador:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a expressão muda de sinal. Esses pontos são onde o numerador ou o denominador são zero:
- Numerador:
→ - Denominador:
→
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 5
Esses pontos dividem a reta numérica em três intervalos:
Vamos testar cada intervalo para ver onde a inequação é verdadeira.
Passo 6
Intervalo 1:
Escolha
:
Verdadeiro.
Passo 7
Intervalo 2:
Escolha
:
Falso.
Passo 8
Intervalo 3:
Escolha
:
Verdadeiro.
Passo 9
Agora, precisamos considerar os pontos críticos:
- Em
, a expressão não está definida (denominador zero). - Em
, o numerador é zero, então , que não é menor que zero.
Portanto,
não faz parte da solução.
Resposta
O conjunto solução
é:
- Forma de intervalo:
- Caracterização por propriedade: Todos os valores de
menores que 3 ou maiores que 4 satisfazem a inequação .
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes inequações na variável
, e represente o conjunto solução
nos seguintes formatos: na forma de intervalo, e também caracterizando
por meio da propriedade satisfeita pelos seus elementos.
Resolva as seguintes inequações na variável
, e represente o conjunto solução
nos seguintes formatos: na forma de intervalo, e também caracterizando
por meio da propriedade satisfeita pelos seus elementos.
Resolva as seguintes inequações modulares:
Resolva as seguintes inequações que envolvem funções quadráticas:
Observação: o domínio destas técnicas será útil quando, mais adiante, formos estudar o comportamento das funções, investigando regiões de crescimento ou decrescimento, e também os intervalos onde o gráfico da função é côncavo para cima ou para baixo.
Observação: o domínio destas técnicas será útil quando, mais adiante, formos estudar o comportamento das funções, investigando regiões de crescimento ou decrescimento, e também os intervalos onde o gráfico da função é côncavo para cima ou para baixo.