Resolva as seguintes inequações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a inequação
. Aqui, estamos lidando com uma inequação polinomial do quarto grau. Para resolver isso, a gente precisa encontrar os valores de
que fazem essa expressão ser maior ou igual a zero. Vamos precisar fatorar o polinômio ou encontrar suas raízes para saber onde a expressão muda de sinal.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a inequação para facilitar a resolução. Vamos colocar os termos em ordem decrescente dos graus:
Para simplificar, podemos multiplicar todos os termos por
. Lembrando que ao multiplicar uma inequação por um número negativo, o sinal da inequação se inverte:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação associada para encontrar os pontos críticos onde a expressão pode mudar de sinal:
Para resolver essa equação, vamos fazer uma substituição: seja
. Assim, a equação fica:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Então, temos duas soluções para
:
Como
e
sempre é maior ou igual a zero, descartamos
porque é negativo. Portanto, a única solução válida é:
Passo 5
Agora, voltando para
:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Esses são os pontos críticos que dividem a reta real em intervalos. Vamos agora analisar em quais intervalos a inequação
é verdadeira.
Passo 6
Para determinar onde a expressão é menor ou igual a zero, escolhemos pontos de teste em cada intervalo determinado pelos valores críticos
e
.
Vamos analisar três intervalos:
Testando um valor de cada intervalo na inequação
, constatamos que a inequação é satisfeita apenas no intervalo central:
Resposta
A solução da inequação
é:
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes inequações:
Resolva as seguintes inequações:
Resolva as seguintes inequações:
Resolva as seguintes inequações: