Resolva as seguintes inequações:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação . Aqui, estamos lidando com uma inequação polinomial do quarto grau. Para resolver isso, a gente precisa encontrar os valores de que fazem essa expressão ser maior ou igual a zero. Vamos precisar fatorar o polinômio ou encontrar suas raízes para saber onde a expressão muda de sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a inequação para facilitar a resolução. Vamos colocar os termos em ordem decrescente dos graus:
Para simplificar, podemos multiplicar todos os termos por . Lembrando que ao multiplicar uma inequação por um número negativo, o sinal da inequação se inverte:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação associada para encontrar os pontos críticos onde a expressão pode mudar de sinal:
Para resolver essa equação, vamos fazer uma substituição: seja . Assim, a equação fica:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo:
Então, temos duas soluções para :
Como e sempre é maior ou igual a zero, descartamos porque é negativo. Portanto, a única solução válida é:

Passo 5

Agora, voltando para :
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Esses são os pontos críticos que dividem a reta real em intervalos. Vamos agora analisar em quais intervalos a inequação é verdadeira.

Passo 6

Para determinar onde a expressão é menor ou igual a zero, escolhemos pontos de teste em cada intervalo determinado pelos valores críticos e .
Vamos analisar três intervalos:
Testando um valor de cada intervalo na inequação , constatamos que a inequação é satisfeita apenas no intervalo central:

Resposta

A solução da inequação é:

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