Use integração por partes para encontrar a transformada de Laplace da função dada; é um inteiro positivo é uma constante real.
19. senat
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace da função usando integração por partes. A matéria envolvida aqui é Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, e vamos precisar aplicar a técnica de integração por partes para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função é definida por:
No nosso caso, . Então, a transformada de Laplace que queremos encontrar é:
Passo 3
Vamos aplicar a técnica de integração por partes. Lembre-se que a fórmula da integração por partes é:
Precisamos escolher o que será e o que será . Vamos escolher:
Passo 4
Agora, precisamos calcular . A integral pode ser resolvida usando a fórmula padrão:
No nosso caso, e , então:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo , e :
Passo 6
Vamos analisar o termo nos limites de 0 a . Quando , tende a zero (desde que ), e multiplicado por ainda tende a zero. Quando , também é zero. Portanto, o termo é zero.
Então, a expressão fica:
Podemos simplificar isso para:
Passo 7
Agora, temos outra integral para resolver: . Podemos distribuir o :