Use integração por partes para encontrar a transformada de Laplace da função dada; n é um inteiro positivo e a é uma constante real.
19. t^2 senat

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace da função usando integração por partes. A matéria envolvida aqui é Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, e vamos precisar aplicar a técnica de integração por partes para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função é definida por:
No nosso caso, . Então, a transformada de Laplace que queremos encontrar é:

Passo 3

Vamos aplicar a técnica de integração por partes. Lembre-se que a fórmula da integração por partes é:
Precisamos escolher o que será e o que será . Vamos escolher:

Passo 4

Agora, precisamos calcular . A integral pode ser resolvida usando a fórmula padrão:
No nosso caso, e , então:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo , e :

Passo 6

Vamos analisar o termo nos limites de 0 a . Quando , tende a zero (desde que ), e multiplicado por ainda tende a zero. Quando , também é zero. Portanto, o termo é zero.
Então, a expressão fica:
Podemos simplificar isso para:

Passo 7

Agora, temos outra integral para resolver: . Podemos distribuir o :
Essas são transformadas de Laplace conhecidas:

Passo 8

Substituindo essas transformadas na expressão:
Agora, vamos simplificar:

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

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