(5.0) Resolva as seguintes integrais
© (1.0) integral tg^4(x) sec ^6(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente com potências de tangente e secante. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração envolvendo identidades trigonométricas e substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante: . Essa identidade nos ajuda a simplificar as potências de tangente em termos de secante, o que é útil para a integração.

Passo 3

Vamos reescrever tan^4(x) = (tan^2(x))^2 = (sec^2(x) - 1)^2 usando a identidade mencionada:
(sec^2(x) - 1)^2 = sec^4(x) - 2sec^2(x) + 1
Expandindo o quadrado:

Passo 4

Agora, substituímos integral tan^4(x) sec^6(x) , dx = integral (sec^4(x) - 2sec^2(x) + 1) sec^6(x) , dx na integral original:
= integral (sec^10(x) - 2sec^8(x) + sec^6(x)) , dx
Multiplicando os termos:

Passo 5

Integrar potências altas de secante pode ser complicado, então vamos tentar simplificar a expressão. Observando que a derivada de u = tan(x) Rightarrow du = sec^2(x) , dx é , podemos usar substituição. Vamos definir:

Passo 6

Precisamos ajustar a integral para se adequar à nossa substituição. Observamos que:
sec^10(x) = sec^8(x) cdot sec^2(x) = sec^8(x) cdot du
Mas ainda temos que pode ser escrito como algo, mas isso pode complicar mais. Então, provavelmente, essa abordagem não está simplificando. Vamos tentar outra técnica.

Passo 7

Outra estratégia é separar uma potência de integral tan^4(x) sec^6(x) , dx = integral tan^3(x) sec^5(x) cdot tan(x) sec(x) , dx e que possa ser derivada diretamente:
Aqui, pode ser relacionado à derivada de .

Passo 8

Vamos definir:
u = sec(x) Rightarrow du = sec(x) tan(x) , dx
Agora, reescrevemos a integral:
integral tan^3(x) sec^5(x) cdot du
Sabemos que tan^3(x) = tan(x) (sec^2(x) - 1) , então:

Passo 9

Substituindo na integral:
integral tan(x) (sec^2(x) - 1) sec^5(x) , du = integral (sec^7(x) - sec^5(x)) , du
Mas isso não simplifica diretamente. Parece que precisamos reconsiderar nossa abordagem.

Passo 10

Vamos retornar à expressão original e tentar outra substituição. Definimos:
u = tan(x) Rightarrow du = sec^2(x) , dx
Expressamos a integral em termos de integral u^4 sec^6(x) , dx :
= integral u^4 (u^2 + 1)^3 cdot dusec^2(x) = integral u^4 (u^2 + 1)^3 cdot duu^2 + 1
Sabemos que = integral u^4 (u^2 + 1)^2 , du , então:
Simplificando:

Passo 11

Agora, expandimos (u^2 + 1)^2 = u^4 + 2u^2 + 1 :
u^4 (u^4 + 2u^2 + 1) = u^8 + 2u^6 + u^4
Multiplicando por :

Passo 12

Agora, a integral se torna:
integral (u^8 + 2u^6 + u^4) , du = u^99 + 2u^77 + u^55 + C
Agora, substituímos = tan^9(x)9 + 2tan^7(x)7 + tan^5(x)5 + C de volta:

Resposta

A integral tan^9(x)9 + 2tan^7(x)7 + tan^5(x)5 + C é igual a:

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