(5.0) Resolva as seguintes integrais
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente com potências de tangente e secante. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração envolvendo identidades trigonométricas e substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante:
. Essa identidade nos ajuda a simplificar as potências de tangente em termos de secante, o que é útil para a integração.
Passo 3
Vamos reescrever
usando a identidade mencionada:
Expandindo o quadrado:
Passo 4
Agora, substituímos
na integral original:
Multiplicando os termos:
Passo 5
Integrar potências altas de secante pode ser complicado, então vamos tentar simplificar a expressão. Observando que a derivada de
é
, podemos usar substituição. Vamos definir:
Passo 6
Precisamos ajustar a integral para se adequar à nossa substituição. Observamos que:
Mas ainda temos
que pode ser escrito como
algo, mas isso pode complicar mais. Então, provavelmente, essa abordagem não está simplificando. Vamos tentar outra técnica.
Passo 7
Outra estratégia é separar uma potência de
e
que possa ser derivada diretamente:
Aqui,
pode ser relacionado à derivada de
.
Passo 8
Vamos definir:
Agora, reescrevemos a integral:
Sabemos que
, então:
Passo 9
Substituindo na integral:
Mas isso não simplifica diretamente. Parece que precisamos reconsiderar nossa abordagem.
Passo 10
Vamos retornar à expressão original e tentar outra substituição. Definimos:
Expressamos a integral em termos de
:
Sabemos que
, então:
Simplificando:
Passo 11
Agora, expandimos
:
Multiplicando por
:
Passo 12
Agora, a integral se torna:
Agora, substituímos
de volta:
Resposta
A integral
é igual a:
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Encontre
Resolva os seguintes problemas de valor inicial
.
Ache as derivadas
e
de:
Calcular as derivadas das seguintes funções.