Verifique a convergência das seguintes integrais:
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a integral
converge ou não. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais impróprias e como analisar o comportamento da função em pontos críticos, como onde o denominador se anula ou quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função
pode ter problemas. Olhando para o denominador
, vemos que ele se anula quando
, ou seja, quando
. Isso significa que a função tem uma descontinuidade em
. Além disso, como a integral vai até o infinito, precisamos analisar o comportamento da função quando
cresce sem parar.
Passo 3
Devido à descontinuidade em
e ao limite superior infinito, vamos dividir a integral em duas partes para facilitar a análise:
Agora, vamos verificar a convergência de cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 4
Analisando
:
Para
próximo de 0,
e
. Então, a função se comporta como
, que é bem comportada no intervalo
. Não há problemas de convergência aqui.
Analisando
:
Aqui, o denominador
se aproxima de
para
. E
tende a
quando
vai para o infinito. Então, a função se aproxima de
.
Para verificar a convergência, comparamos com a integral
, que sabemos que converge porque a integral
converge para
. Como nossa função se comporta similarmente a
, podemos concluir que esta parte da integral também converge.
Resposta
A integral
converge.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes integrais:
n)
n)
Resolva as seguintes integrais:
d)
d)
Verifique a convergência das seguintes integrais:
i)
i)
Verifique a convergência das seguintes integrais:
z)
z)