Verifique a convergência das seguintes integrais:
d) integral0^infty arctg x1-x^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a integral converge ou não. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais impróprias e como analisar o comportamento da função em pontos críticos, como onde o denominador se anula ou quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função pode ter problemas. Olhando para o denominador , vemos que ele se anula quando , ou seja, quando . Isso significa que a função tem uma descontinuidade em . Além disso, como a integral vai até o infinito, precisamos analisar o comportamento da função quando cresce sem parar.

Passo 3

Devido à descontinuidade em integral0^infty arctan x1 - x^3 , dx = integral0^1 arctan x1 - x^3 , dx + integral1^infty arctan x1 - x^3 , dx e ao limite superior infinito, vamos dividir a integral em duas partes para facilitar a análise:
Agora, vamos verificar a convergência de cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 4

Analisando :
Para próximo de 0, e . Então, a função se comporta como , que é bem comportada no intervalo . Não há problemas de convergência aqui.
Analisando :
Aqui, o denominador se aproxima de para . E tende a quando vai para o infinito. Então, a função se aproxima de .
Para verificar a convergência, comparamos com a integral , que sabemos que converge porque a integral converge para . Como nossa função se comporta similarmente a , podemos concluir que esta parte da integral também converge.

Resposta

A integral converge.

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