Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
82)

Passo 1

Vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com uma integral que envolve uma função polinomial ( ) multiplicada por uma função trigonométrica ( ). Para resolver essa integral, vamos precisar utilizar uma identidade trigonométrica para simplificar e, em seguida, aplicar técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar usando a identidade trigonométrica de ângulo duplo:
Essa identidade nos permite reescrever a integral de uma forma mais fácil de resolver.

Passo 3

Substituindo a identidade na integral original, temos:
Agora, vamos distribuir dentro dos parênteses:

Passo 4

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
  1. Primeira Integral:
    Essa é uma integral básica de uma função polinomial.
  2. Segunda Integral:
    Para resolver essa integral, vamos utilizar o método de integração por partes.

Passo 5

Aplicando a Integração por Partes:
A fórmula para integração por partes é:
Vamos definir:
  • \quad (então )
  • \quad (então )

Passo 6

Substituindo na fórmula:
Agora, resolvendo a segunda integral:
Portanto:

Passo 7

Voltando à expressão original da integral:
Simplificando os coeficientes:

Resposta

A integral é igual a:

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