Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
82) integral x cos ^2 x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral x cos^2 x , dx. Aqui estamos lidando com uma integral que envolve uma função polinomial ( x) multiplicada por uma função trigonométrica ( cos^2 x). Para resolver essa integral, vamos precisar utilizar uma identidade trigonométrica para simplificar cos^2 x e, em seguida, aplicar técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar cos^2 x usando a identidade trigonométrica de ângulo duplo:
cos^2 x = 1 + cos 2x2
Essa identidade nos permite reescrever a integral de uma forma mais fácil de resolver.

Passo 3

Substituindo a identidade na integral original, temos:
integral x cos^2 x , dx = integral x cdot 1 + cos 2x2 , dx = 12 integral x (1 + cos 2x) , dx
Agora, vamos distribuir x dentro dos parênteses:
12 ( integral x , dx + integral x cos 2x , dx )

Passo 4

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
  1. Primeira Integral:
    integral x , dx = x^22 + C
    Essa é uma integral básica de uma função polinomial.
  2. Segunda Integral:
    integral x cos 2x , dx
    Para resolver essa integral, vamos utilizar o método de integração por partes.

Passo 5

Aplicando a Integração por Partes:
A fórmula para integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos definir:
  • u = x \quad (então du = dx)
  • dv = cos 2x , dx \quad (então v = integral cos 2x , dx = sin 2x2)

Passo 6

Substituindo na fórmula:
integral x cos 2x , dx = x cdot sin 2x2 - integral sin 2x2 , dx
Agora, resolvendo a segunda integral:
integral sin 2x2 , dx = -cos 2x4 + C
Portanto:
integral x cos 2x , dx = x sin 2x2 + cos 2x4 + C

Passo 7

Voltando à expressão original da integral:
12 ( x^22 + x sin 2x2 + cos 2x4 ) + C
Simplificando os coeficientes:
x^24 + x sin 2x4 + cos 2x8 + C

Resposta

A integral integral x cos^2 x , dx é igual a:
x^24 + x sin 2x4 + cos 2x8 + C

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