Utilize o método dos coeficientes a determinar para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas: Res.:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente vai usar o método dos coeficientes a determinar, que é uma técnica bacana para encontrar soluções de equações diferenciais lineares com termos conhecidos do lado direito. A equação que temos é:
Vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, assumimos uma solução da forma e substituímos na equação:
Como nunca é zero, temos:
As raízes são (com multiplicidade 2) e . Assim, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação original:
Como o lado direito é composto por uma constante ( ) e um termo trigonométrico ( ), vamos supor uma solução particular da forma:
Onde , , e são coeficientes a serem determinados.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :
Agora, substituímos , e na equação diferencial:
Simplificando:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para :
Para :
E para a constante:
Observamos que para a constante, como não há no lado direito, deve ser zero e .
Resolvendo o sistema para e :
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então:

Passo 6

Agora, temos todos os coeficientes:
Portanto, a solução particular é:

Passo 7

Por fim, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral:
Para simplificar, podemos escrever:

Resposta

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