Utilize o método dos coeficientes a determinar para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas:
Res.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente vai usar o método dos coeficientes a determinar, que é uma técnica bacana para encontrar soluções de equações diferenciais lineares com termos conhecidos do lado direito. A equação que temos é:
Vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, assumimos uma solução da forma
e substituímos na equação:
Como
nunca é zero, temos:
As raízes são
(com multiplicidade 2) e
. Assim, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação original:
Como o lado direito é composto por uma constante (
) e um termo trigonométrico (
), vamos supor uma solução particular da forma:
Onde
,
,
e
são coeficientes a serem determinados.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para
:
Para
:
E para a constante:
Observamos que para a constante, como não há
no lado direito,
deve ser zero e
.
Resolvendo o sistema para
e
:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então:
Passo 6
Agora, temos todos os coeficientes:
Portanto, a solução particular é:
Passo 7
Por fim, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral:
Para simplificar, podemos escrever: