Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, a matéria envolve integração de funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar um método de substituição simples que facilita a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Observamos que o denominador é
. Vamos chamar esse denominador de
:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Passo 4
Observamos que o numerador da nossa integral original é
. Podemos reescrever isso para facilitar a substituição:
Passo 5
Substituindo
e
na integral original, temos:
Passo 6
A integral
é uma integral básica que resulta no logaritmo natural:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
Exercícios relacionados
Utilize o método dos coeficientes a determinar para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas:
Res.:
Suponha que duas substâncias químicas em solução reajam para formar um composto. Se a reação ocorre por meio da colisão e interação das moléculas das substâncias, espera-se que a taxa de formação do composto seja proporcional ao número de colisões por unidade de tempo, o que, por sua vez, é proporcional às quantidades das substâncias que não foram transformadas. Uma reação química que prossegue dessa maneira é chamada de reação de segunda ordem, e essa lei da reação é frequentemente referida como a lei da ação das massas. Considere uma reação de segunda ordem na qual x gramas do composto contenham ax gramas da primeira substância e bx gramas da segunda, onde
. Se há A gramas da primeira substância inicialmente, e
gramas da segunda, e se
quando
, encontre
como função do tempo
.
Suponha que uma dada população possa ser dividida em dois grupos: aqueles que têm uma certa doença infecciosa e aqueles que não têm, mas que podem contrai-la a entrar em contato com uma pessoa infectada. Se
e y são as proporções de pessoas infectadas e não infectadas, então
. Suponha que (1) a doença se espalha pelos contatos mencionados entre pessoas doentes e saudáveis, (2) que a taxa de propagação
é proporcional ao número desses contatos, e (3) que os dois grupos se misturam livremente entre si, de modo que o número de contatos seja proporcional a
e
. Se
quando
, encontre
como função do tempo
, esboce
gráfico e use essa função para mostrar que, em última análise, a doença se espalhará por toda a população.
Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
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