Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
86)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, a matéria envolve integração de funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar um método de substituição simples que facilita a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Observamos que o denominador é . Vamos chamar esse denominador de :

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :

Passo 4

Observamos que o numerador da nossa integral original é . Podemos reescrever isso para facilitar a substituição:

Passo 5

Substituindo e na integral original, temos:

Passo 6

A integral é uma integral básica que resulta no logaritmo natural:
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

Exercícios relacionados

Utilize o método dos coeficientes a determinar para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas: Res.:
Suponha que duas substâncias químicas em solução reajam para formar um composto. Se a reação ocorre por meio da colisão e interação das moléculas das substâncias, espera-se que a taxa de formação do composto seja proporcional ao número de colisões por unidade de tempo, o que, por sua vez, é proporcional às quantidades das substâncias que não foram transformadas. Uma reação química que prossegue dessa maneira é chamada de reação de segunda ordem, e essa lei da reação é frequentemente referida como a lei da ação das massas. Considere uma reação de segunda ordem na qual x gramas do composto contenham ax gramas da primeira substância e bx gramas da segunda, onde . Se há A gramas da primeira substância inicialmente, e gramas da segunda, e se quando , encontre como função do tempo .
Suponha que uma dada população possa ser dividida em dois grupos: aqueles que têm uma certa doença infecciosa e aqueles que não têm, mas que podem contrai-la a entrar em contato com uma pessoa infectada. Se e y são as proporções de pessoas infectadas e não infectadas, então . Suponha que (1) a doença se espalha pelos contatos mencionados entre pessoas doentes e saudáveis, (2) que a taxa de propagação é proporcional ao número desses contatos, e (3) que os dois grupos se misturam livremente entre si, de modo que o número de contatos seja proporcional a e . Se quando , encontre como função do tempo , esboce gráfico e use essa função para mostrar que, em última análise, a doença se espalhará por toda a população.
Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
89)