Resolva as seguintes integrais: integral d xx^2+2 x+5

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa é uma questão de cálculo integral, mais especificamente envolvendo integrais de funções racionais onde o denominador é um polinômio quadrático. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado no denominador e usar uma fórmula padrão de integração que lida com esse tipo de expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado no denominador x^2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1)^2 + 4 . Completar o quadrado ajuda a reescrever a expressão de uma forma que seja mais fácil de integrar. Como fazemos isso?
Pegamos os coeficientes dos termos e : temos 1 e 2 respectivamente. A metade do coeficiente de é 1, e seu quadrado é 1. Então, adicionamos e subtraímos 1 dentro da expressão quadrática:
Portanto, .

Passo 3

Agora, substituímos a interpretação do denominador na integral:
integral dx(x + 1)^2 + 4
Essa forma é semelhante à integral padrão:
integral duu^2 + a^2 = 1a arctan(ua) + C
Onde no nosso caso, j�� que .

Passo 4

Aplicando a fórmula padrão à nossa integral:
integral dx(x + 1)^2 + 2^2 = 12 arctan(x + 12) + C
Aqui, é a constante de integração que aparece em todas as integrais indefinidas.

Resposta

integral dxx^2 + 2x + 5 = 12 arctan(x + 12) + C

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