Resolva as seguintes integrais: integral sec ^2(x)(cos ^2(x)+1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de cálculo integral, mais especificamente lidando com integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas básicas e saber como integrar funções como .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que é o inverso de , ou seja, . Portanto, .

Passo 3

Agora, vamos multiplicar sec^2(x)(cos^2(x)+1) = 1cos^2(x) cdot cos^2(x) + 1cos^2(x) cdot 1 pela expressão dentro do parêntese:

Passo 4

Simplificando os termos:
cos^2(x)cos^2(x) + 1cos^2(x) = 1 + sec^2(x)
Então, a integral fica:
integral (1 + sec^2(x)) dx

Passo 5

Agora, podemos separar a integral em duas partes:
integral 1 , dx + integral sec^2(x) , dx
A primeira integral, , é simples de resolver, e a segunda, , é uma integral básica conhecida.

Passo 6

Resolvendo a primeira integral:
integral 1 , dx = x
Para a segunda integral, lembramos que a derivada de integral sec^2(x) , dx = tan(x) é , então a integral de é :

Passo 7

Juntando as duas partes resolvidas:
x + tan(x) + C
Onde é a constante de integração, que sempre adicionamos em integrais indefinidas.

Resposta

A integral é igual a .

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