Resolva as seguintes integrais: r) integral e^2 x2+e^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Isso envolve cálculo integral, mais especificamente integrais racionais com funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos chamar o denominador de u = 2 + e^2x :
Isso vai ajudar a transformar a integral em algo mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = 2 e^2x em relação a dx = du2 e^2x para encontrar :
Então, isolando :
Mas observe que temos no numerador da nossa integral original, o que vai simplificar as coisas.

Passo 4

Substituindo integral e^2x2 + e^2x , dx = integral e^2xu cdot du2 e^2x = integral 12u , du e na integral original:
Veja que se cancela, deixando uma integral mais simples.

Passo 5

Agora, vamos integrar integral 12u , du = 12 integral 1u , du = 12 ln|u| + C em relação a :
Aqui, usamos a regra básica da integral de , que é o logaritmo natural.

Passo 6

Por fim, substituímos 12 ln|2 + e^2x| + C de volta pela expressão original :
Como é sempre positivo, podemos simplificar removendo as barras de valor absoluto.

Resposta

12 ln(2 + e^2x) + C

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