Resolva as seguintes integrais: integral llraizx^2+1 x d x & a5) integral cos (7 theta+5) d theta a6) integral x^2 e^x^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos três integrais para resolver:
a5)
a6)
a7)
Vamos precisar utilizar substituição para todas elas. A substituição é uma técnica que facilita a integração ao transformar a expressão original em uma mais simples.

Resolução da integral a5)

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral a5: . Aqui, vemos que a expressão dentro da raiz quadrada, , está relacionada com o que está multiplicando. Isso sugere que podemos usar substituição.

Passo 3

Vamos escolher dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx . Agora, precisamos encontrar . Derivando em relação a :

Passo 4

Resolvendo para x , dx = du2 :

Passo 5

Substituímos na integral original:
integral raizu cdot du2 = 12 integral u^1/2 , du

Passo 6

Agora, integramos 12 cdot u^3/232 = 13 u^3/2 + C :

Passo 7

Finalmente, substituímos 13 (x^2 + 1)^3/2 + C de volta para termos de :

Passo 8

Agora, vamos para a integral a6: . Aqui, temos uma função trigonométrica composta, ou seja, uma função dentro de outra função. Vamos usar substituição também.

Passo 9

Escolhemos dudtheta = 7 Rightarrow dtheta = du7 . Agora, derivamos em relação a :

Passo 10

Substituímos na integral:
integral cos(u) cdot du7 = 17 integral cos(u) , du

Passo 11

Integrando 17 sin(u) + C :

Passo 12

Voltamos para 17 sin(7theta + 5) + C :

Passo 13

Vamos resolver a integral a7: . Aqui, percebemos que o está relacionado com o expoente de , . Isso é ideal para substituição.

Passo 14

Escolhemos dudx = 3x^2 Rightarrow x^2 , dx = du3 . Derivando em relação a :

Passo 15

Substituímos na integral:
integral e^u cdot du3 = 13 integral e^u , du

Passo 16

Integrando 13 e^u + C :

Passo 17

Voltamos para 13 e^x^3 + C :

Resposta

A integral a7 vale .

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