Resolva as seguintes integrais:
Passo 1
Vamos resolver as integrais apresentadas no exercício. Temos duas integrais para resolver:
Para resolver essas integrais, vamos precisar entender sobre integração por substituição, que é uma técnica útil quando a integral contém uma função composta.
Passo 2
Integral 1:
Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Observe que dentro do cosseno temos
, que é uma função linear de
. Vamos chamar essa parte de
.
Substituição:
Calculando
:
Ao derivar em relação a
, temos:
Isso implica que:
Ao derivar
Isso implica que:
Passo 3
Agora, substituímos
e
na integral original:
A integral de
em relação a
é
, então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Finalmente, substituímos
de volta para
:
Passo 5
Agora, vamos resolver a segunda integral:
Mais uma vez, vamos usar a integração por substituição para simplificar a integral.
Passo 6
Substituição:
Observe que no expoente de temos
, cuja derivada é
. Isso sugere que escolhemos
de forma a facilitar a substituição.
Observe que no expoente de
Vamos definir:
Calculando
:
Derivando em relação a
:
Isso implica que:
Derivando
Isso implica que:
Passo 7
Substituindo
e
na integral:
A integral de
em relação a
é
, então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Finalmente, substituímos
de volta para
:
Passo 9
Vamos resolver a terceira integral:
Mais uma vez, utilizaremos a integração por substituição para simplificar a integral.
Passo 10
Substituição:
Observe que dentro da raiz temos , cuja derivada é
. Isso sugere que escolhemos
para facilitar a substituição.
Observe que dentro da raiz temos
Vamos definir:
Calculando
:
Derivando em relação a
:
Isso implica que:
Derivando
Isso implica que:
Passo 11
Substituindo
e
na integral:
A integral de
em relação a
é
, então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 12
Finalmente, substituímos
de volta para
:
Resposta
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