Resolva as seguintes integrais: integral llraizx^2+1 x d x & a5) integral cos (7 theta+5) d theta a6) integral x^2 e^x^3 d x

Passo 1

Vamos resolver as integrais apresentadas no exercício. Temos duas integrais para resolver:
Para resolver essas integrais, vamos precisar entender sobre integração por substituição, que é uma técnica útil quando a integral contém uma função composta.

Passo 2

Integral 1:
Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Observe que dentro do cosseno temos , que é uma função linear de . Vamos chamar essa parte de .
Substituição:
Calculando :
Ao derivar em relação a , temos:

Isso implica que:

Passo 3

Agora, substituímos integral cos(7theta + 5) , dtheta = integral cos(u) cdot du7 = 17 integral cos(u) , du e 17 integral cos(u) , du = 17 sin(u) + C na integral original:
A integral de em relação a é , então:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Finalmente, substituímos 17 sin(u) + C = 17 sin(7theta + 5) + C de volta para :

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral:
Mais uma vez, vamos usar a integração por substituição para simplificar a integral.

Passo 6

Substituição:
Observe que no expoente de temos , cuja derivada é . Isso sugere que escolhemos de forma a facilitar a substituição.
Vamos definir:
Calculando :
Derivando em relação a :

Isso implica que:

Passo 7

Substituindo integral x^2 e^x^3 , dx = integral e^u cdot du3 = 13 integral e^u , du e 13 integral e^u , du = 13 e^u + C na integral:
A integral de em relação a é , então:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Finalmente, substituímos 13 e^u + C = 13 e^x^3 + C de volta para :

Passo 9

Vamos resolver a terceira integral:
Mais uma vez, utilizaremos a integração por substituição para simplificar a integral.

Passo 10

Substituição:
Observe que dentro da raiz temos , cuja derivada é . Isso sugere que escolhemos para facilitar a substituição.
Vamos definir:
Calculando :
Derivando em relação a :

Isso implica que:

Passo 11

Substituindo integral raizx^2 + 1 cdot x , dx = integral raizu cdot du2 = 12 integral u^1/2 , du e 12 integral u^1/2 , du = 12 cdot 23 u^3/2 + C = 13 u^3/2 + C na integral:
A integral de em relação a é , então:
Onde é a constante de integração.

Passo 12

Finalmente, substituímos 13 u^3/2 + C = 13 (x^2 + 1)^3/2 + C de volta para :

Resposta

integral raizx^2 + 1 cdot x , dx = 13 (x^2 + 1)^3/2 + C

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