Resolva as seguintes integrais: integral a^x^2 x d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa resolver a integral integral a^x^2 x , dx. Isso envolve o conteúdo de integração por substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas. Para resolver isso, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir por uma variável mais simples.

Passo 2

Vamos procurar uma substituição que facilite a integral. Observando integral a^x^2 x , dx, notamos que o expoente x^2 está relacionado com o termo x que está multiplicando. Isso sugere que podemos usar uma substituição onde o novo variable seja o exponente x^2.

Passo 3

Definimos nossa substituição como u = x^2. Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx. Calculando, temos:
dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx Rightarrow du2 = x , dx
Isso nos ajuda a substituir x , dx na integral original.

Passo 4

Com a substituição feita, reescrevemos a integral em termos de u:
integral a^x^2 x , dx = integral a^u cdot du2 = 12 integral a^u , du
Agora, a integral ficou mais simples: 12 integral a^u , du.

Passo 5

Vamos integrar a^u em relação a u. Sabemos que:
integral a^u , du = a^uln a + C
onde C é a constante de integração e ln a é o logaritmo natural de a.

Passo 6

Substituímos de volta u = x^2 na expressão integrada:
12 cdot a^uln a + C = a^x^22 ln a + C

Resposta

A integral integral a^x^2 x , dx é igual a:
a^x^22 ln a + C

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