Resolva as seguintes integrais: integral x+52 x^2+4 x+3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com frações racionais. Para resolver, vamos precisar simplificar o numerador e o denominador e usar integração por frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador . É um polinômio de segundo grau, e para facilitar a integração, vamos fatorá-lo. Vou explicar rapidamente: fatorar significa escrever o polinômio como o produto de dois binômios, se possível.

Passo 3

Fatorando , buscamos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e . Assim, podemos reescrever o polinômio:

Passo 4

Agora, a integral fica:
integral x + 5(2x + 3)(x + 1) , dx
Vamos usar frações parciais para decompor essa fração.

Passo 5

Para frações parciais, assumimos que:
x + 5(2x + 3)(x + 1) = A2x + 3 + Bx + 1
Nosso objetivo é encontrar os valores de e .

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por x + 5 = A(x + 1) + B(2x + 3) para eliminar os denominadores:

Passo 7

Agora, expandimos o lado direito:
x + 5 = A x + A + 2B x + 3B
Agrupando os termos com x + 5 = (A + 2B)x + (A + 3B) e os constantes:

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para 1 = A + 2B :
5 = A + 3B
Para o termo constante:

Passo 9

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. (A + 3B) - (A + 2B) = 5 - 1 B = 4
Subtraindo a primeira equação da segunda:

Passo 10

Agora, substituímos A + 2(4) = 1 A + 8 = 1 A = -7 na primeira equação:

Passo 11

Com x + 5(2x + 3)(x + 1) = -72x + 3 + 4x + 1 e , a fração original fica:

Passo 12

Agora, podemos integrar termo a termo:
integral -72x + 3 , dx + integral 4x + 1 , dx

Passo 13

Vamos resolver cada integral separadamente. Lembrando que:
integral 1ax + b , dx = 1a ln |ax + b| + C

Passo 14

Primeira integral:
-7 integral 12x + 3 , dx = -7 cdot 12 ln |2x + 3| = -72 ln |2x + 3|

Passo 15

Segunda integral:
4 integral 1x + 1 , dx = 4 ln |x + 1|

Passo 16

Juntando as integrais:
-72 ln |2x + 3| + 4 ln |x + 1| + C

Resposta

A integral -72 ln |2x + 3| + 4 ln |x + 1| + C é igual a:

Exercícios relacionados