Resolva as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com frações racionais. Para resolver, vamos precisar simplificar o numerador e o denominador e usar integração por frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o denominador
. É um polinômio de segundo grau, e para facilitar a integração, vamos fatorá-lo. Vou explicar rapidamente: fatorar significa escrever o polinômio como o produto de dois binômios, se possível.
Passo 3
Fatorando
, buscamos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
. Assim, podemos reescrever o polinômio:
Passo 4
Agora, a integral fica:
Vamos usar frações parciais para decompor essa fração.
Passo 5
Para frações parciais, assumimos que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
.
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 7
Agora, expandimos o lado direito:
Agrupando os termos com
e os constantes:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para
:
Para o termo constante:
Passo 9
Vamos resolver o sistema de equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Passo 10
Agora, substituímos
na primeira equação:
Passo 11
Com
e
, a fração original fica:
Passo 12
Agora, podemos integrar termo a termo:
Passo 13
Vamos resolver cada integral separadamente. Lembrando que:
Passo 14
Primeira integral:
Passo 15
Segunda integral:
Passo 16
Juntando as integrais:
Resposta
A integral
é igual a:
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