Resolva as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com frações racionais. Para resolver, vamos precisar simplificar o numerador e o denominador e usar integração por frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador . É um polinômio de segundo grau, e para facilitar a integração, vamos fatorá-lo. Vou explicar rapidamente: fatorar significa escrever o polinômio como o produto de dois binômios, se possível.

Passo 3

Fatorando , buscamos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e . Assim, podemos reescrever o polinômio:

Passo 4

Agora, a integral fica:
Vamos usar frações parciais para decompor essa fração.

Passo 5

Para frações parciais, assumimos que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e .

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 7

Agora, expandimos o lado direito:
Agrupando os termos com e os constantes:

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para :
Para o termo constante:

Passo 9

Vamos resolver o sistema de equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda:

Passo 10

Agora, substituímos na primeira equação:

Passo 11

Com e , a fração original fica:

Passo 12

Agora, podemos integrar termo a termo:

Passo 13

Vamos resolver cada integral separadamente. Lembrando que:

Passo 14

Primeira integral:

Passo 15

Segunda integral:

Passo 16

Juntando as integrais:

Resposta

A integral é igual a:

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes integrais:
Resolva as seguintes integrais:
Resolva as seguintes integrais:
Resolva as seguintes integrais: