Resolva as seguintes integrais: integral raiz(3-2 x)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma expressão ao quadrado dentro de uma raiz quadrada. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de funções absolutas e propriedades das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que raiz(3-2x)^2 = |3 - 2x| , ou seja, a raiz quadrada de um número ao quadrado é o valor absoluto desse número. Aplicando isso, temos:

Passo 3

Agora, precisamos integrar 3 - 2x = 0 implies 2x = 3 implies x = 32 . O valor absoluto faz com que a expressão dentro dele possa ser positiva ou negativa, dependendo do valor de . Para facilitar a integração, vamos identificar onde a expressão muda de sinal.
Resolvendo :
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Vamos dividir a integral em dois casos, de acordo com o valor de :
  1. Para : A expressão é positiva ou zero, então .
  2. Para : A expressão é negativa, então .

Passo 5

Vamos integrar cada caso separadamente:
  1. Para integral |3 - 2x| , dx = integral (3 - 2x) , dx = 3x - x^2 + C :
    integral |3 - 2x| , dx = integral (2x - 3) , dx = x^2 - 3x + C
  2. Para :

Resposta

A integral integral raiz(3-2x)^2 , dx = 3x - x^2 + C, & se x <= 32 x^2 - 3x + C, & se x > 32 é dada por:
Onde é a constante de integração.

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