Resolva as seguintes integrais: integral(raizx^2+1) x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral (raizx^2+1) x , dx. Esse problema está na área de Cálculo Integral, especificamente usando a técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar u de x^2 + 1. Então:
u = x^2 + 1
Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir x , dx na integral.

Passo 3

Calculando a derivada de u:
dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx
Isso significa que:
x , dx = du2
Agora, podemos substituir x , dx por du2 na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral:
integral raizx^2+1 , x , dx = integral raizu cdot du2 = 12 integral u^1/2 , du
Agora, vamos integrar u^1/2 em relação a u:
12 cdot 23 u^3/2 + C = 13 u^3/2 + C
Finalmente, substituímos u de volta por x^2 + 1.

Resposta

A integral é igual a 13 (x^2 + 1)^32 + C.

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