Resolva as seguintes integrais: integral 2 sec ^2(x)a+b tg(x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral 2 sec ^2(x)a+b tg(x) , dx. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais utilizando a técnica de substituição. Para resolver, vamos identificar uma substituição que simplifique a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Observando o denominador a + b tan(x) e o numerador 2 sec^2(x), percebemos que uma boa escolha é deixar u = a + b tan(x). Isso porque a derivada de tan(x) envolve $ \sec^2(x)$, que já está no numerador.

Passo 3

Agora, vamos derivar u em relação a x para encontrar du:
dudx = b sec^2(x)
Então, podemos escrever:
du = b sec^2(x) , dx

Passo 4

Queremos expressar 2 sec^2(x) , dx em termos de du. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por b:
sec^2(x) , dx = dub
Multiplicando por 2:
2 sec^2(x) , dx = 2b , du

Passo 5

Substituindo na integral original:
integral 2 sec^2(x)a + b tan(x) , dx = integral 2b , duu = 2b integral 1u , du

Passo 6

A integral de 1u , du é ln|u| + C, onde C é a constante de integração. Portanto:
2b integral 1u , du = 2b ln|u| + C

Resposta

A integral vale 2b ln|,a + b,tan(x),| + C.

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