Resolva as seguintes integrais: integral raiz[3]sen(theta) cos (theta) d theta

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos que resolver a integral integral raiz[3]sin(theta) cos (theta) , dtheta. Isso envolve o cálculo de integrais usando substituição. Precisaremos usar a técnica de substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a resolução. Vamos definir:
u = sin(theta)
Isso significa que precisamos expressar a integral em termos de u.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a theta para encontrar du:
du = cos(theta) , dtheta
Observamos que na integral original temos exatamente cos(theta) , dtheta, o que é igual a du.

Passo 4

Substituindo u e du na integral original, temos:
integral raiz[3]u , du
A raiz cúbica pode ser escrita como uma potência fracionária, então:
integral u^1/3 , du

Passo 5

Agora, vamos integrar u^1/3. Para integrar potências, usamos a regra:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
Aplicando isso aqui:
integral u^1/3 , du = u^4/34/3 + C = 34 u^4/3 + C

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original theta substituindo u = sin(theta):
34 ( sin(theta) )^4/3 + C

Resposta

34 ( sin(theta) )^4/3 + C

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