Resolva as seguintes integrais: integral raiz[3]sen(theta) cos (theta) d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos lidando com integração envolvendo funções trigonométricas e uma raiz cúbica. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que é muito útil quando temos uma função dentro de outra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável mais simples. Observamos que está dentro da raiz cúbica e temos multiplicando. Isso é perfeito para substituição.

Passo 3

Vamos escolher du = cos(theta),dtheta . Agora, precisamos encontrar , que é a derivada de em relação a :
Isso acontece porque a derivada de é .

Passo 4

Agora, substituímos integral raiz[3]u , du e na integral original:
Isso simplifica a nossa integral para uma forma mais fácil de integrar.

Passo 5

Vamos reescrever integral u^1/3 , du como integral u^n , du = u^n+1n+1 + C para facilitar a integração:
Agora, aplicamos a regra de potência para integrar:
onde .

Passo 6

Aplicando a regra de potência com u^13 + 113 + 1 + C = u^4343 + C = 34 u^43 + C :

Passo 7

Agora, substituímos 34 ( sin(theta) )^43 + C de volta para :

Resposta

A integral 34 ( sin(theta) )^43 + C é igual a:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados