Resolva as seguintes integrais: integral xsen^2(x) d x

Passo 1

Então, a gente precisa calcular a integral . Isso envolve cálculo integral, especificamente o método de integração por partes. Para resolver, vamos precisar identificar duas partes da expressão que vão representar e na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes. Ela é dada por:
integral u , dv = uv - integral v , du
Isso significa que precisamos escolher qual parte da nossa função vai ser e qual vai ser .

Passo 3

Vamos escolher du = dx . Aí, derivando , temos:
Com isso, o que sobra da integral será .

Passo 4

Então, temos:
dv = 1sen^2(x) , dx
Para encontrar v = integral 1sen^2(x) , dx = -cot(x) , vamos integrar :
Lembrando que .

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
integral xsen^2(x) , dx = uv - integral v , du = -x cot(x) - integral (-cot(x)) , dx
Isso simplifica para:
- x cot(x) + integral cot(x) , dx

Passo 6

Vamos resolver a integral cot(x) = cos(x)sen(x) . Sabemos que:
integral cot(x) , dx = ln|sen(x)| + C
E a integral de é:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão que tínhamos:
- x cot(x) + ln|sen(x)| + C

Resposta

A integral é igual a .

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