Verifique a convergência das seguintes integrais:
i) integral2^infty 1x^2 ln x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a integral integral2^infty 1x^2 ln x dx converge ou não. Isso está no conteúdo de cálculo, mais especificamente sobre integrais impróprias e critérios de convergência. Para resolver, vamos precisar usar o Critério da Comparação, que ajuda a decidir se uma integral converge comparando-a com outra que já sabemos que converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando: 1x^2 ln x. Como o limite de integração vai até o infinito, a gente precisa ver como essa função se comporta quando x cresce muito. Sabemos que tanto x^2 quanto ln x crescem à medida que x aumenta, mas x^2 cresce muito mais rápido que ln x.

Passo 3

Agora, vamos escolher uma função para comparar que seja mais simples e que nos ajude a decidir a convergência. Vamos comparar com a função 1x^2, porque é uma função bem conhecida e fácil de integrar. Então, temos:
0 < 1x^2 ln x < 1x^2
Isso porque ln x > 0 para x > 1, então dividir por ln x deixa a fração menor que 1x^2.

Passo 4

Agora, vamos lembrar como é a integral de 1x^2 de 2 até o infinito:
integral2^infty 1x^2 dx
A gente sabe que essa integral converge e é igual a:
[ -1x ]2^infty = 0 - ( -12 ) = 12
Então, a integral de 1x^2 de 2 até o infinito é finita.

Passo 5

Como nossa função 1x^2 ln x é menor que 1x^2 e a integral de 1x^2 converge, pelo Critério da Comparação a integral de 1x^2 ln x também converge.

Resposta

A integral integral2^infty 1x^2 ln x dx converge.

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