Verifique a convergência das seguintes integrais:
i)
i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a integral
converge ou não. Isso está no conteúdo de cálculo, mais especificamente sobre integrais impróprias e critérios de convergência. Para resolver, vamos precisar usar o Critério da Comparação, que ajuda a decidir se uma integral converge comparando-a com outra que já sabemos que converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando:
. Como o limite de integração vai até o infinito, a gente precisa ver como essa função se comporta quando
cresce muito. Sabemos que tanto
quanto
crescem à medida que
aumenta, mas
cresce muito mais rápido que
.
Passo 3
Agora, vamos escolher uma função para comparar que seja mais simples e que nos ajude a decidir a convergência. Vamos comparar com a função
, porque é uma função bem conhecida e fácil de integrar. Então, temos:
Isso porque
para
, então dividir por
deixa a fração menor que
.
Passo 4
Agora, vamos lembrar como é a integral de
de 2 até o infinito:
A gente sabe que essa integral converge e é igual a:
Então, a integral de
de 2 até o infinito é finita.
Passo 5
Como nossa função
é menor que
e a integral de
converge, pelo Critério da Comparação a integral de
também converge.
Resposta
A integral
converge.
Exercícios relacionados
Verifique a convergência das seguintes integrais:
d)
d)
Resolva as seguintes integrais:
n)
n)
Verifique a convergência das seguintes integrais:
z)
z)
Seja
uma função derivável. Verifique que