Verifique a convergência das seguintes integrais:
i)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a integral converge ou não. Isso está no conteúdo de cálculo, mais especificamente sobre integrais impróprias e critérios de convergência. Para resolver, vamos precisar usar o Critério da Comparação, que ajuda a decidir se uma integral converge comparando-a com outra que já sabemos que converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando: . Como o limite de integração vai até o infinito, a gente precisa ver como essa função se comporta quando cresce muito. Sabemos que tanto quanto crescem à medida que aumenta, mas cresce muito mais rápido que .

Passo 3

Agora, vamos escolher uma função para comparar que seja mais simples e que nos ajude a decidir a convergência. Vamos comparar com a função , porque é uma função bem conhecida e fácil de integrar. Então, temos:
Isso porque para , então dividir por deixa a fração menor que .

Passo 4

Agora, vamos lembrar como é a integral de de 2 até o infinito:
A gente sabe que essa integral converge e é igual a:
Então, a integral de de 2 até o infinito é finita.

Passo 5

Como nossa função é menor que e a integral de converge, pelo Critério da Comparação a integral de também converge.

Resposta

A integral converge.

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Verifique a convergência das seguintes integrais:
d)
Resolva as seguintes integrais:
n)
Verifique a convergência das seguintes integrais:
z)
Seja uma função derivável. Verifique que