O resultado da série abaixo é:
sumn=0 (n+1)2^n=1+22+34+46+516+532+cdots
a) 3,5
b) 4
c) 4,5
d) 5
e) 5,5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a soma da série infinita . Esse tipo de série envolve conceitos de séries geométricas e somas de termos que dependem do índice . Para resolver, vamos precisar dividir a série em partes mais simples e usar fórmulas conhecidas de somas infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a série original em duas partes para facilitar o cálculo:
sumn=0^infty n+12^n = sumn=0^infty n2^n + sumn=0^infty 12^n
Aqui, separamos o termo em e .

Passo 3

Vamos calcular a segunda soma primeiro, que é uma série geométrica simples:
sumn=0^infty 12^n = 11 - 12 = 112 = 2
A fórmula que usamos aqui é a soma de uma série geométrica infinita, que é válida quando a razão está entre -1 e 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira soma, que envolve o termo sumn=0^infty n2^n = 12(1 - 12)^2 = 1214 = 2 :
Essa fórmula vem de uma técnica para somar séries que envolvem o termo , onde é a razão da série geométrica.

Resposta

A soma total da série é . Portanto, a alternativa correta é:
b) 4

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