Resolva as seguintes integrais usando o método de substituição de variáveis:
11) integral ln (x+1)x+1 d x

Passo 1

Oi! Vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando o método de substituição de variáveis. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a integral. Observando a função, podemos definir . Essa escolha é útil porque a derivada de em relação a será algo que encontramos na integral.

Passo 3

Calculando a derivada de dudx = 1x+1 , temos:
du = 1x+1 , dx
Isso significa que:
Perceba que aparece exatamente no denominador da nossa integral original.

Passo 4

Agora, substituímos integral ln(x+1)x+1 , dx = integral u , du e na integral original:
Isso simplifica a integral para uma forma mais fácil de resolver.

Passo 5

Integrando integral u , du = 12 u^2 + C em relação a , obtemos:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, substituímos 12 u^2 + C = 12 [ln(x+1)]^2 + C de volta para a expressão original:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas abaixo usando a Regra da Cadeia e as regras de derivação.
u = e^(-x) cos(2 x)
Resolva as seguintes integrais usando o método de substituição de variáveis:
10) integral d xcos ^2 x raiztg x-1
Nos exercícios de 1 a 75 calcular a derivada.
Calcule a derivada de f(s) = log3(raiz(s + 1))
Nos exercícios de 1 a 75 calcular a derivada.
Calcule a derivada de f(theta) = -cosec^2(theta^3)