Utilize o método dos coeficientes a determinar para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas: Resp.:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o método dos coeficientes a determinar. Ou seja, vamos encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e como encontrar soluções homogêneas e particulares.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, . Isso significa que estamos procurando uma função cuja segunda derivada menos a primeira derivada seja zero.

Passo 3

Para resolver , vamos usar a equação característica. Assumimos que a solução tem a forma , onde é uma constante a ser encontrada. Derivando, temos:
Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por (que nunca é zero):
Fatorando:
Então, as raízes são e .

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da parte homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é uma constante, vamos tentar uma solução particular também constante, ou seja, , onde é uma constante a ser determinada.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Isso não faz sentido, então nossa suposição de está errada.

Passo 6

Quando a tentativa anterior falha, geralmente multiplicamos por para tentar uma nova forma. Então, vamos tentar .
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Portanto, a solução particular é:

Passo 7

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Utilize o método dos coeficientes a determinar para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas: Resp.:
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