Utilize o método dos coeficientes a determinar para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas:
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando o método dos coeficientes a determinar. Ou seja, vamos encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e como encontrar soluções homogêneas e particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja,
. Isso significa que estamos procurando uma função
cuja segunda derivada menos a primeira derivada seja zero.
Passo 3
Para resolver
, vamos usar a equação característica. Assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante a ser encontrada. Derivando, temos:
Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Fatorando:
Então, as raízes são
e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da parte homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é uma constante, vamos tentar uma solução particular também constante, ou seja,
, onde
é uma constante a ser determinada.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Isso não faz sentido, então nossa suposição de
está errada.
Passo 6
Quando a tentativa anterior falha, geralmente multiplicamos por
para tentar uma nova forma. Então, vamos tentar
.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Portanto, a solução particular é:
Passo 7
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Resolva as seguintes integrais usando o método de substituição de variáveis:
5)
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Utilize o método dos coeficientes a determinar para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas:
Resp.:
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12)
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