Resolva os seguintes itens:
Expanda a função em séries de cosseno.
Dica: Note que é uma função par e que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para expandir a função no intervalo usando uma série de cossenos. Isso está ligado ao estudo das Séries de Fourier, especificamente para funções pares. Como é uma função par, sabemos que todos os coeficientes serão zero. Vamos precisar calcular os coeficientes e para montar a série.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma série de cossenos. Para uma função par no intervalo , a série de Fourier é composta apenas de cossenos. A série geral fica:
Aqui, é o termo constante e são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente . A fórmula para é:
Como é uma função par, podemos simplificar a integral de a para vezes a integral de a :
Calculando a integral:
Então:

Passo 4

Agora vamos calcular os coeficientes . A fórmula para é:
Novamente, como é par e também é par, podemos simplificar:
Para resolver essa integral, vamos usar integração por partes duas vezes. Vamos definir:
Aplicando integração por partes:
A segunda integral também requer integração por partes, mas após todo o processo, acabamos com:
Isso simplifica a expressão dos coeficientes .

Passo 5

Com os coeficientes e encontrados, podemos escrever a série de cossenos completa para :
Substituindo os valores de e :

Resposta

A série de cossenos que expande a função no intervalo é:

Exercícios relacionados

Qual é o erro aproximado ao prever a demanda no dia utilizando a série de Taylor até a terceira ordem?
O nível atual de equilíbrio de renda é . O pleno emprego é definido como . Se os impostos não se relacionarem com a renda e a propensão marginal a consumir for 0,80 , em quanto será necessário aumentar as despesas governamentais para levar a economia ao pleno emprego, se o governo estiver comprometido a operar com um orçamento equilibrado?
Suponha uma economia onde o comportamento de consumo é dado por Yd, as despesas governamentais alcançam o montante de $ 180 , o investimento é igual a $$ 190 , as exportações totalizam , as importações são dadas por , as receitas tributárias são iguais a e as transferências governamentais às famílias são iguais a . Suponha ainda que o pleno emprego é atingido quando a renda é igual a $$ 870: Em quanto deve variar os impostos que independem do nível de renda (To) para que o pleno emprego seja alcançado?
Considere a seguinte economia de Bodocongó: Determine o nível de renda de equilíbrio desta economia e determine o saldo orçamentário do governo e o saldo da Balança Comercial.