Resolva os seguintes itens:
Expanda a função
em séries de cosseno.
Dica: Note que
é uma função par e que
.
Expanda a função
Dica: Note que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para expandir a função
no intervalo
usando uma série de cossenos. Isso está ligado ao estudo das Séries de Fourier, especificamente para funções pares. Como
é uma função par, sabemos que todos os coeficientes
serão zero. Vamos precisar calcular os coeficientes
e
para montar a série.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma série de cossenos. Para uma função par no intervalo
, a série de Fourier é composta apenas de cossenos. A série geral fica:
Aqui,
é o termo constante e
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente
. A fórmula para
é:
Como
é uma função par, podemos simplificar a integral de
a
para
vezes a integral de
a
:
Calculando a integral:
Então:
Passo 4
Agora vamos calcular os coeficientes
. A fórmula para
é:
Novamente, como
é par e
também é par, podemos simplificar:
Para resolver essa integral, vamos usar integração por partes duas vezes. Vamos definir:
Aplicando integração por partes:
A segunda integral também requer integração por partes, mas após todo o processo, acabamos com:
Isso simplifica a expressão dos coeficientes
.
Passo 5
Com os coeficientes
e
encontrados, podemos escrever a série de cossenos completa para
:
Substituindo os valores de
e
:
Resposta
A série de cossenos que expande a função
no intervalo
é:
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