Resolva os seguintes itens:
Expanda a função f(x) = x^2, -L < x < L em séries de cosseno.
Dica: Note que f(x) é uma função par e que b_k = 0, para todo k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para expandir a função no intervalo usando uma série de cossenos. Isso está ligado ao estudo das Séries de Fourier, especificamente para funções pares. Como é uma função par, sabemos que todos os coeficientes serão zero. Vamos precisar calcular os coeficientes e para montar a série.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma série de cossenos. Para uma função par no intervalo , a série de Fourier é composta apenas de cossenos. A série geral fica:
Aqui, é o termo constante e são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente . A fórmula para é:
Como é uma função par, podemos simplificar a integral de a para vezes a integral de a :
Calculando a integral:
Então:

Passo 4

Agora vamos calcular os coeficientes . A fórmula para é:
Novamente, como é par e também é par, podemos simplificar:
Para resolver essa integral, vamos usar integração por partes duas vezes. Vamos definir:
Aplicando integração por partes:
A segunda integral também requer integração por partes, mas após todo o processo, acabamos com:
Isso simplifica a expressão dos coeficientes .

Passo 5

Com os coeficientes e encontrados, podemos escrever a série de cossenos completa para :
Substituindo os valores de e :

Resposta

A série de cossenos que expande a função no intervalo é:

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