Utilize o teste para divergência para determinar se a série diverge, ou se é necessária uma investigação adicional.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente usar o teste para divergência para descobrir se a série
diverge ou se precisamos analisar mais a fundo. O teste para divergência é uma ferramenta básica em séries infinitas que nos ajuda a ter uma ideia inicial sobre o comportamento da série. Pra isso, a gente vai precisar calcular o limite do termo geral da série quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está na série. A série é da forma
. A raiz
-ésima de
pode ser reescrita usando propriedades de potências. Sabemos que
, então o termo geral fica
.
Passo 3
Agora, aplicando o teste para divergência, precisamos calcular o limite do termo geral quando
tende ao infinito:
Vamos resolver esse limite. O expoente
tende a zero conforme
cresce. Sabemos que
, então:
Portanto:
Passo 4
Segundo o teste para divergência, se o limite do termo geral não for zero, ou seja, se:
então a série
diverge. No nosso caso, o limite foi 1, que é diferente de zero.
Resposta
A série
diverge pelo teste para divergência.
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Resolva as seguintes P.V.I.
Qual a notação para descrever as seguintes funções?
d) associa cada número real negativo ao número 2 .
d)
Seja
dada por
. Calcule e simplifique:
a)
a)
Utilize séries conhecidas, convergentes ou divergentes, para determinar se a série é convergente ou divergente; no caso de convergência, determine a soma.