Utilize o teste para divergência para determinar se a série diverge, ou se é necessária uma investigação adicional.
sumn=1^infty 1raiz[n]e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente usar o teste para divergência para descobrir se a série diverge ou se precisamos analisar mais a fundo. O teste para divergência é uma ferramenta básica em séries infinitas que nos ajuda a ter uma ideia inicial sobre o comportamento da série. Pra isso, a gente vai precisar calcular o limite do termo geral da série quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está na série. A série é da forma . A raiz -ésima de pode ser reescrita usando propriedades de potências. Sabemos que , então o termo geral fica .

Passo 3

Agora, aplicando o teste para divergência, precisamos calcular o limite do termo geral quando limn to infty 1e^1/n tende ao infinito:
limn to infty e^1/n = e^0 = 1
Vamos resolver esse limite. O expoente limn to infty 1e^1/n = 11 = 1 tende a zero conforme cresce. Sabemos que , então:
Portanto:

Passo 4

Segundo o teste para divergência, se o limite do termo geral não for zero, ou seja, se:
limn to infty an neq 0
então a série diverge. No nosso caso, o limite foi 1, que é diferente de zero.

Resposta

A série diverge pelo teste para divergência.

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