Utilize o teste para divergência para determinar se a série diverge, ou se é necessária uma investigação adicional.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente usar o teste para divergência para descobrir se a série diverge ou se precisamos analisar mais a fundo. O teste para divergência é uma ferramenta básica em séries infinitas que nos ajuda a ter uma ideia inicial sobre o comportamento da série. Pra isso, a gente vai precisar calcular o limite do termo geral da série quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está na série. A série é da forma . A raiz -ésima de pode ser reescrita usando propriedades de potências. Sabemos que , então o termo geral fica .

Passo 3

Agora, aplicando o teste para divergência, precisamos calcular o limite do termo geral quando tende ao infinito:
Vamos resolver esse limite. O expoente tende a zero conforme cresce. Sabemos que , então:
Portanto:

Passo 4

Segundo o teste para divergência, se o limite do termo geral não for zero, ou seja, se:
então a série diverge. No nosso caso, o limite foi 1, que é diferente de zero.

Resposta

A série diverge pelo teste para divergência.

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes P.V.I.
Qual a notação para descrever as seguintes funções?
d) associa cada número real negativo ao número 2 .
Seja dada por . Calcule e simplifique:
a)
Utilize séries conhecidas, convergentes ou divergentes, para determinar se a série é convergente ou divergente; no caso de convergência, determine a soma.