Resolva os seguintes sistemas de EDO
(h) dd t(lx1 x2 x3)=(ccc1 & 0 & 0 2 & 1 & -2 3 & 2 & 1)(lx1 x2 x3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). A gente precisa trabalhar com matrizes e encontrar soluções para o sistema dado. Vamos precisar entender como encontrar os autovalores e autovetores da matriz para montar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz do sistema. A equação é dada por:
ddtx1 x2 x3 = 1 & 0 & 0 2 & 1 & -2 3 & 2 & 1 x1 x2 x3
Aqui, a matriz A = 1 & 0 & 0 2 & 1 & -2 3 & 2 & 1 é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 1-lambda & 0 & 0 2 & 1-lambda & -2 3 & 2 & 1-lambda . Isso fazemos resolvendo o determinante , onde é a matriz identidade e são os autovalores.

Passo 4

Calculando o determinante:
det(A - lambda I) = (1-lambda) cdot 1-lambda & -2 2 & 1-lambda = (1-lambda)((1-lambda)^2 + 4) = 0
Isso nos dá os autovalores:
lambda = 1 e lambda = 1 pm 2i

Passo 5

Com os autovalores em mãos, vamos agora encontrar os autovetores correspondentes. Começamos com (A - I)v = 0 Rightarrow 0 & 0 & 0 2 & 0 & -2 3 & 2 & 0 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
1 1 1
Resolvendo, encontramos que é um autovetor.

Passo 6

Para os autovalores complexos , usamos a forma complexa para construir a solução real. Encontramos os autovetores complexos e extraímos as partes real e imaginária para formar soluções oscilatórias.

Passo 7

Finalmente, a solução geral do sistema é combinada dos autovalores reais e complexos:
x(t) = C1 e^t 1 1 1 + e^t ( C2 cos(2t) cos(2t) cos(2t) + C3 sin(2t) sin(2t) sin(2t) )

Resposta

A solução geral do sistema é:
x(t) = C1 e^t 1 1 1 + e^t ( C2 cos(2t) cos(2t) cos(2t) + C3 sin(2t) sin(2t) sin(2t) )
onde são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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