Beleza, vamos resolver esse sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). A gente precisa trabalhar com matrizes e encontrar soluções para o sistema dado. Vamos precisar entender como encontrar os autovalores e autovetores da matriz para montar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz do sistema. A equação é dada por:
Agora, precisamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 1-lambda & 0 & 0 2 & 1-lambda & -2 3 & 2 & 1-lambda . Isso fazemos resolvendo o determinante , onde é a matriz identidade e são os autovalores.
Com os autovalores em mãos, vamos agora encontrar os autovetores correspondentes. Começamos com (A - I)v = 0 Rightarrow 0 & 0 & 0 2 & 0 & -2 3 & 2 & 0 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
1 1 1
Resolvendo, encontramos que é um autovetor.
Passo 6
Para os autovalores complexos , usamos a forma complexa para construir a solução real. Encontramos os autovetores complexos e extraímos as partes real e imaginária para formar soluções oscilatórias.
Passo 7
Finalmente, a solução geral do sistema é combinada dos autovalores reais e complexos: