Resolva os seguintes sistemas de EDO
(h)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). A gente precisa trabalhar com matrizes e encontrar soluções para o sistema dado. Vamos precisar entender como encontrar os autovalores e autovetores da matriz para montar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz do sistema. A equação é dada por:
Aqui, a matriz é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os autovalores de . Isso fazemos resolvendo o determinante , onde é a matriz identidade e são os autovalores.

Passo 4

Calculando o determinante:
Isso nos dá os autovalores:

Passo 5

Com os autovalores em mãos, vamos agora encontrar os autovetores correspondentes. Começamos com :
Resolvendo, encontramos que é um autovetor.

Passo 6

Para os autovalores complexos , usamos a forma complexa para construir a solução real. Encontramos os autovetores complexos e extraímos as partes real e imaginária para formar soluções oscilatórias.

Passo 7

Finalmente, a solução geral do sistema é combinada dos autovalores reais e complexos:

Resposta

A solução geral do sistema é:
onde são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados

Resolva os seguintes sistemas de EDO
(e)
Resolva os seguintes sistemas de EDO
(b)
Resolva os seguintes problemas (As figuras que auxiliam na resolução encontram-se na última página):
(b) A corrente (onde representa o tempo) que circula pelo circuito elétrico da figura, satisfaz a seguinte equação diferencial:
Determine sabendo que: e .
Dados
Figura exercício 1 b)
Resolva os seguintes problemas (As figuras que auxiliam na resolução encontram-se na última página):
(a) Uma bóia sólida de altura e área transversal está parcialmente submergida na água. A densidade da água, , e a densidade do material da bóia, , são conhecidas . A bóia é tirada da posição de equilíbrio e começa a oscilar verticalmente, permanecendo sempre parte dela dentro da água.
Sabendo que a força de empuxo é igual a ao peso do fluído deslocado pela bóia, ache a equação diferencial que descreve as oscilações da bóia e daídetermine o período de oscilações.
Figura exercício 1 a)