Beleza, vamos resolver esse sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). A gente precisa trabalhar com matrizes e encontrar soluções para o sistema dado. Vamos precisar entender como encontrar os autovalores e autovetores da matriz para montar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz do sistema. A equação é dada por:
Aqui, a matriz é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os autovalores de . Isso fazemos resolvendo o determinante , onde é a matriz identidade e são os autovalores.
Passo 4
Calculando o determinante:
Isso nos dá os autovalores:
Passo 5
Com os autovalores em mãos, vamos agora encontrar os autovetores correspondentes. Começamos com :
Resolvendo, encontramos que é um autovetor.
Passo 6
Para os autovalores complexos , usamos a forma complexa para construir a solução real. Encontramos os autovetores complexos e extraímos as partes real e imaginária para formar soluções oscilatórias.
Passo 7
Finalmente, a solução geral do sistema é combinada dos autovalores reais e complexos:
Resposta
A solução geral do sistema é:
onde são constantes determinadas pelas condições iniciais.