Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método de eliminação:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando o método de eliminação. Temos duas equações envolvendo as derivadas de
e
em relação ao tempo
. Para resolver, vamos combinar as equações de forma a eliminar uma das variáveis e facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as duas equações do sistema:
Passo 3
Agora, vamos tentar eliminar uma das variáveis. Vamos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar
. Fazendo isso:
Passo 4
Simplificando a equação:
Passo 5
Vamos rearranjar a equação para isolar
:
Passo 6
Sabemos pela primeira equação que
. Vamos substituir isso na equação acima:
Passo 7
Percebemos que chegamos de volta à segunda equação original, o que significa que precisamos tentar outra abordagem. Vamos buscar uma solução particular para o sistema.
Passo 8
Assumindo que a solução tem a forma
e
, onde
e
são constantes a serem encontradas. Vamos substituir essas formas nas equações originais.
Passo 9
Substituindo na primeira equação:
Passo 10
Substituindo na segunda equação:
Passo 11
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução do sistema é
e
.