Resolva os seguintes problemas (As figuras que auxiliam na resolução encontram-se na última página):
(d) A figura mostra um carro de massa acoplado a um sistema de amortecimento, formado por uma mola (de constante ) e um amortecedor (de constante ). Além disso, sobre o carro age uma força dada.
Se , determine sabendo que em o carro esta localizado em e é solto do repouso.
Figura exercício 1 d)

Passo 1

Beleza, vamos primeiro entender o que o enunciado está pedindo. Temos um carro de massa kg conectado a um sistema de amortecimento que inclui uma mola com constante N/m e um amortecedor com constante Ns/m. Além disso, uma força está agindo sobre o carro. Queremos determinar a posição do carro ao longo do tempo, sabendo que no instante inicial ( ), o carro está na posição metros e é solto do repouso (ou seja, velocidade inicial é zero).
Para resolver isso, vamos precisar usar a segunda lei de Newton aplicada a sistemas massa-mola-amortecedor e resolver uma equação diferencial que descreve o movimento do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de movimento para o sistema. A segunda lei de Newton nos diz que a força resultante é igual à massa multiplicada pela aceleração ( ).
No nosso caso, as forças atuando no carro são:
  • A força da mola: (a mola puxa o carro de volta à posição de equilíbrio)
  • A força do amortecedor: (o amortecedor resiste ao movimento)
  • A força externa:
Então, a equação fica:
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 4 para facilitar:
Ou seja:

Passo 4

Para resolver essa equação diferencial não homogênea, vamos encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea ( ) e uma solução particular ( ).
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
Encontramos os valores característicos resolvendo a equação característica:
Calculando o discriminante ( ):
As raízes são:
Então:

Passo 5

Com as raízes reais e distintas, a solução da equação homogênea é:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Agora, vamos procurar uma solução particular para a equação não homogênea:
Assumimos que a solução particular terá a forma:
Vamos derivar para encontrar e :

Passo 7

Substituindo , e na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos de e :
Simplificando ainda mais:

Passo 8

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes de e devem ser iguais nos dois lados da equação:
Agora, temos um sistema de equações lineares para e :

Passo 9

Vamos resolver o sistema. Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Convertendo para denominador 13:
Agora, encontramos :

Passo 10

Agora temos a solução particular:

Passo 11

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 12

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes e .
Primeira condição:
Segunda condição: (velocidade inicial é zero)
Primeiro, derivamos :
Em :
Multiplicando por -1:

Passo 13

Agora, temos o sistema:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Agora, encontrando :

Passo 14

Agora que temos e , substituímos na solução geral:

Resposta

A posição do carro ao longo do tempo é dada por:

Exercícios relacionados

Resolva os seguintes problemas (As figuras que auxiliam na resolução encontram-se na última página):
© As oscilações, em um plano, de um pêndulo de massa (desprezando o atrito com o ar) vem descrita pela equação diferencial não linear:
Considere o caso de pequenas oscilações, para os quais é válida a aproximação . Determine, então, o período dessas oscilações.
Figura exercício 1 c)
Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método de eliminação:
(a)
Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método de eliminação:
(b)
Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método de eliminação:
(e)