Resolva os seguintes problemas (As figuras que auxiliam na resolução encontram-se na última página):
(d) A figura mostra um carro de massa
acoplado a um sistema de amortecimento, formado por uma mola (de constante
) e um amortecedor (de constante
). Além disso, sobre o carro age uma força
dada.
Se
, determine
sabendo que em
o carro esta localizado em
e é solto do repouso.
Figura exercício 1 d)
(d) A figura mostra um carro de massa
Se
Passo 1
Beleza, vamos primeiro entender o que o enunciado está pedindo. Temos um carro de massa
kg conectado a um sistema de amortecimento que inclui uma mola com constante
N/m e um amortecedor com constante
Ns/m. Além disso, uma força está agindo sobre o carro. Queremos determinar a posição
do carro ao longo do tempo, sabendo que no instante inicial (
), o carro está na posição
metros e é solto do repouso (ou seja, velocidade inicial é zero).
Para resolver isso, vamos precisar usar a segunda lei de Newton aplicada a sistemas massa-mola-amortecedor e resolver uma equação diferencial que descreve o movimento do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação de movimento para o sistema. A segunda lei de Newton nos diz que a força resultante é igual à massa multiplicada pela aceleração (
).
No nosso caso, as forças atuando no carro são:
- A força da mola:
(a mola puxa o carro de volta à posição de equilíbrio) - A força do amortecedor:
(o amortecedor resiste ao movimento) - A força externa:
Então, a equação fica:
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 4 para facilitar:
Ou seja:
Passo 4
Para resolver essa equação diferencial não homogênea, vamos encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea (
) e uma solução particular (
).
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
Encontramos os valores característicos resolvendo a equação característica:
Calculando o discriminante (
):
As raízes são:
Então:
Passo 5
Com as raízes reais e distintas, a solução da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Agora, vamos procurar uma solução particular
para a equação não homogênea:
Assumimos que a solução particular terá a forma:
Vamos derivar
para encontrar
e
:
Passo 7
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos de e
:
Simplificando ainda mais:
Passo 8
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes de e
devem ser iguais nos dois lados da equação:
Agora, temos um sistema de equações lineares para
e
:
Passo 9
Vamos resolver o sistema. Da segunda equação:
Substituindo
na primeira equação:
Convertendo
para denominador 13:
Agora, encontramos
:
Passo 10
Agora temos a solução particular:
Passo 11
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 12
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes
e
.
Primeira condição:
Segunda condição:
(velocidade inicial é zero)
Primeiro, derivamos
:
Em
:
Multiplicando por -1:
Passo 13
Agora, temos o sistema:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Agora, encontrando
:
Passo 14
Agora que temos
e
, substituímos na solução geral:
Resposta
A posição do carro ao longo do tempo é dada por:
Exercícios relacionados
Resolva os seguintes problemas (As figuras que auxiliam na resolução encontram-se na última página):
© As oscilações, em um plano, de um pêndulo de massa (desprezando o atrito com o ar) vem descrita pela equação diferencial não linear:
© As oscilações, em um plano, de um pêndulo de massa
Considere o caso de pequenas oscilações, para os quais é válida a aproximação
. Determine, então, o período dessas oscilações.
Figura exercício 1 c)
Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método de eliminação:
(a)
(a)
Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método de eliminação:
(b)
(b)
Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método de eliminação:
(e)
(e)