Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método de eliminação:
(e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que a gente tem aqui. A matéria que toca nesse problema é sistemas de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método de eliminação, que é tipo eliminar uma variável pra facilitar a resolução. Vou te mostrar passo a passo como fazer isso.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema que a gente tem:
Aqui, e representam as derivadas das funções e em relação a .

Passo 3

Vamos começar eliminando uma das variáveis. Vamos tentar eliminar . Para isso, a gente pode manipular as duas equações para que os termos de se cancelem.
Primeiro, da primeira equação:
E da segunda equação:
Vamos expressar da segunda equação:
Substituindo isso na primeira equação:

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa equação:
Juntando termos semelhantes:
Agora, vamos reorganizar para isolar :
Mas precisamos de uma equação só em ou , então vamos fazer diferente: derivando a segunda equação e substituindo na primeira.
Derivando a segunda equação:
Agora, substituímos da primeira equação:
Simplificando:
Mas sabemos da segunda equação que . Substituindo:
Simplificando:

Passo 5

Agora temos uma equação diferencial de segunda ordem em :
Para resolver isso, vamos encontrar a solução da equação homogênea associada:
Resolvendo a equação característica:
Então, a solução geral da homogênea é:
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa. Supondo uma solução da forma :
Derivando:
Substituindo na equação:
Isso não funciona, então tentamos multiplicar por :
Derivando:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Ainda não funcionou, então tentamos .
Após derivar e substituir, encontramos .
Então, a solução particular é:
Então, a solução geral é:

Resposta

A solução do sistema é:

Exercícios relacionados

Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método de eliminação:
(b)
Resolva os seguintes problemas (As figuras que auxiliam na resolução encontram-se na última página):
(d) A figura mostra um carro de massa acoplado a um sistema de amortecimento, formado por uma mola (de constante ) e um amortecedor (de constante ). Além disso, sobre o carro age uma força dada.
Se , determine sabendo que em o carro esta localizado em e é solto do repouso.
Figura exercício 1 d)
Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método de eliminação:
(h)
Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método da eliminação. Esteja certo de que na solução geral apareça o n mero apropriado de constantes arbitrárias:
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