Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método de eliminação:
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que a gente tem aqui. A matéria que toca nesse problema é sistemas de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método de eliminação, que é tipo eliminar uma variável pra facilitar a resolução. Vou te mostrar passo a passo como fazer isso.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema que a gente tem:
Aqui, e representam as derivadas das funções e em relação a .
Passo 3
Vamos começar eliminando uma das variáveis. Vamos tentar eliminar . Para isso, a gente pode manipular as duas equações para que os termos de se cancelem.
Primeiro, da primeira equação:
E da segunda equação:
Vamos expressar da segunda equação:
Substituindo isso na primeira equação:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa equação:
Juntando termos semelhantes:
Agora, vamos reorganizar para isolar :
Mas precisamos de uma equação só em ou , então vamos fazer diferente: derivando a segunda equação e substituindo na primeira.
Derivando a segunda equação:
Agora, substituímos da primeira equação:
Simplificando:
Mas sabemos da segunda equação que . Substituindo:
Simplificando:
Passo 5
Agora temos uma equação diferencial de segunda ordem em :
Para resolver isso, vamos encontrar a solução da equação homogênea associada:
Resolvendo a equação característica:
Então, a solução geral da homogênea é:
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa. Supondo uma solução da forma :
Derivando:
Substituindo na equação:
Isso não funciona, então tentamos multiplicar por :