Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(a)
(a)
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial
com a condição
. Esse exercício está relacionado ao estudo de equações diferenciais, mais especificamente, equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar integrar a equação e aplicar a condição inicial para encontrar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma mais clara:
Entretanto, parece que há uma confusão na notação. Vamos assumir que a equação está na forma diferencial total:
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos integrar os termos separadamente. Primeiro, identifiquemos as partes em termos de
e
.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral do lado direito é zero, pois estamos igualando a zero.
Passo 5
Calculando as integrais:
Então, somando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
.
Substituindo
e
na equação:
Passo 7
Substituindo
na equação geral:
Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:
Passo 8
Isolando
:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
Calcule a Transformada de Laplace inversa:
(n)
(n)
Calcule a Transformada de Laplace inversa:
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Verifique que a função
é solução da equação homogênea associada da EDO
, depois encontre uma solução particular da equação não homogênea dada.
Usando a definição, calcule a transformada de Laplace das funções a seguir:
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