Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(a) t dt + y e^(-t) dy = 0, y(0) = 1

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial com a condição . Esse exercício está relacionado ao estudo de equações diferenciais, mais especificamente, equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar integrar a equação e aplicar a condição inicial para encontrar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma mais clara:
Entretanto, parece que há uma confusão na notação. Vamos assumir que a equação está na forma diferencial total:

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos integrar os termos separadamente. Primeiro, identifiquemos as partes em termos de e .

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral do lado direito é zero, pois estamos igualando a zero.

Passo 5

Calculando as integrais:
Então, somando as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de .
Substituindo e na equação:

Passo 7

Substituindo na equação geral:
Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:

Passo 8

Isolando :
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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