Verifique que a função y1(t) = t é solução da equação homogênea associada da EDO t^2 y'' - 2 t y' + 2 y = 4 t^2, depois encontre uma solução particular da equação não homogênea dada.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) não homogênea:
Primeiro, vamos verificar se a função é solução da equação homogênea associada. Depois, vamos encontrar uma solução particular para a equação original. Para isso, vamos precisar entender sobre soluções de equações homogêneas e métodos para encontrar soluções particulares.

Passo 2

Vamos começar verificando se resolve a equação homogênea. A equação homogênea associada é:
Primeiro, calculamos as derivadas de :
Substituindo na equação homogênea:
Então, é realmente uma solução da equação homogênea.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea:
Sabemos que uma solução é . Para encontrar a segunda solução , usamos o método de redução de ordem. Assumimos que , onde é o coeficiente de na equação padrão.
Reescrevendo a equação na forma padrão :
Dividindo toda a equação por :
Aqui, e .
Calculando:
Então,
Ignorando a constante , temos .
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Como o lado direito é e já temos na solução da homogênea, vamos tentar uma solução particular na forma:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Os termos com cancelam, restando:
Então, .
Portanto, a solução particular é:

Resposta

Uma solução particular da equação dada é:

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