Verifique que a função
é solução da equação homogênea associada da EDO
, depois encontre uma solução particular da equação não homogênea dada.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) não homogênea:
Primeiro, vamos verificar se a função
é solução da equação homogênea associada. Depois, vamos encontrar uma solução particular para a equação original. Para isso, vamos precisar entender sobre soluções de equações homogêneas e métodos para encontrar soluções particulares.
Passo 2
Vamos começar verificando se
resolve a equação homogênea. A equação homogênea associada é:
Primeiro, calculamos as derivadas de
:
Substituindo na equação homogênea:
Então,
é realmente uma solução da equação homogênea.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea:
Sabemos que uma solução é
. Para encontrar a segunda solução
, usamos o método de redução de ordem. Assumimos que , onde
é o coeficiente de
na equação padrão.
Reescrevendo a equação na forma padrão
:
Dividindo toda a equação por
:
Aqui,
e
.
Calculando:
Então,
Ignorando a constante
, temos
.
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea:
Como o lado direito é
e já temos
na solução da homogênea, vamos tentar uma solução particular na forma:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Os termos com
cancelam, restando:
Então,
.
Portanto, a solução particular é:
Resposta
Uma solução particular da equação dada é:
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Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(a)
(a)
Calcule a Transformada de Laplace inversa:
(n)
(n)
Usando a definição, calcule a transformada de Laplace das funções a seguir:
©
©
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Calcule :
(a)
Calcule
(a)