Resolva os seguintes sistema de EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) que foi passado. A gente precisa achar a solução geral do sistema:
Pra isso, vamos usar a teoria de sistemas lineares com coeficientes constantes, que envolve encontrar os autovalores e autovetores da matriz associada ao sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial. Podemos representar as equações dadas como:
onde
e
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os autovalores () da matriz . Para isso, calculamos o determinante de e igualamos a zero:
Calculando o determinante:
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Temos dois autovalores complexos: e .
Passo 5
Com os autovalores complexos, a solução geral do sistema pode ser escrita usando funções trigonométricas. A fórmula geral é:
onde é a parte real e a parte imaginária dos autovalores. No nosso caso, e .
Passo 6
Substituindo e na fórmula, temos:
Agora, precisamos encontrar os vetores e que são os autovetores associados aos autovalores e , respectivamente.
Passo 7
Para encontrar , resolvemos :
Resolvendo, obtemos que . Para simplificar, podemos tomar .
Passo 8
De maneira similar, para , temos:
Passo 9
Substituindo e na solução geral, e separando as partes reais e imaginárias, chegamos à solução real do sistema:
Resposta
A solução geral do sistema é:
onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.