Resolva os seguintes sistema de EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e encontrar a solução geral. Além disso, se houver condições iniciais do Problema de Valor Inicial (PVI), também precisamos achar a solução particular. Para isso, vamos precisar usar técnicas de sistemas lineares e encontrar os valores próprios e vetores próprios da matriz que representa o sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de EDOs em forma matricial. Isso facilita a visualização e a aplicação das técnicas de álgebra linear. Temos:
Em forma matricial, fica:
Onde:
Passo 3
Agora, para resolver esse sistema, precisamos encontrar os valores próprios (autovalores) e vetores próprios (autovetores) da matriz . Os valores próprios nos ajudarão a determinar o comportamento das soluções.
Vamos encontrar os valores próprios resolvendo a equação característica:
Onde é a matriz identidade e são os valores próprios.
Passo 4
Calculando o determinante:
Expandindo o determinante:
Simplificando:
Passo 5
Resolvendo a equação cúbica:
Testando possíveis raízes racionais, percebemos que não satisfaz, mas :
Então, é uma raiz. Fazendo a divisão polinomial, fatoramos a equação:
Resolvendo :
Então, os valores próprios são e .
Passo 6
Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.
Para :
Resolvemos :
Resolvendo, percebemos que . Então, um vetor próprio é:
Para :
Resolvemos :
Observamos que as equações são homogêneas e dependentes. Podemos expressar duas soluções independentes, por exemplo:
Passo 7
Com os valores próprios e vetores próprios, a solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções exponenciais associadas a cada valor próprio:
Onde são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se existir algum PVI.
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde são constantes que dependem das condições iniciais do problema.