Resolva os seguintes sistemas de EDO
©
©
Passo 1
Beleza, então a gente tem que resolver um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) da seguinte forma:
Vamos usar conceitos de sistemas lineares com coeficientes constantes para resolver isso. Precisamos encontrar as soluções para
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o sistema de EDO de forma matricial:
Onde:
Para resolver esse sistema, precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz
.
Passo 3
Vamos calcular os autovalores (
) resolvendo o determinante da matriz
igual a zero:
Calculando:
Expandindo:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação quadrática
para encontrar os autovalores.
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
,
:
Portanto, temos dois autovalores:
Passo 5
Com os autovalores encontrados, vamos agora calcular os autovetores correspondentes a cada
.
Para
:
Resolvemos
:
Da primeira linha:
Escolhendo
, então
.
Portanto, o autovetor para
é:
Passo 6
Para
, resolvemos
:
Da primeira linha:
Escolhendo
, então
.
Portanto, o autovetor para
é:
Passo 7
Agora que temos os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema:
Substituindo os valores encontrados:
Onde
e
são constantes que serão determinadas por condições iniciais, se fornecidas.
Resposta
A solução geral do sistema de EDO é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método da eliminação. Esteja certo de que na solução geral apareça o n
mero apropriado de constantes arbitrárias:
©
©
Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método de eliminação:
(h)
(h)
Resolva os seguintes sistemas de EDO
(f)
(f)
Resolva os seguintes sistemas de EDO
(i)
(i)