Resolva os seguintes sistemas de EDO
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Passo 1

Beleza, então a gente tem que resolver um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) da seguinte forma:
Vamos usar conceitos de sistemas lineares com coeficientes constantes para resolver isso. Precisamos encontrar as soluções para e .

Passo 2

Primeiro, vamos representar o sistema de EDO de forma matricial:
Onde:
Para resolver esse sistema, precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz .

Passo 3

Vamos calcular os autovalores ( ) resolvendo o determinante da matriz igual a zero:
Calculando:
Expandindo:

Passo 4

Agora, resolvemos a equação quadrática para encontrar os autovalores.
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , :
Portanto, temos dois autovalores:

Passo 5

Com os autovalores encontrados, vamos agora calcular os autovetores correspondentes a cada .
Para :
Resolvemos :
Da primeira linha:
Escolhendo , então .
Portanto, o autovetor para é:

Passo 6

Para , resolvemos :
Da primeira linha:
Escolhendo , então .
Portanto, o autovetor para é:

Passo 7

Agora que temos os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema:
Substituindo os valores encontrados:
Onde e são constantes que serão determinadas por condições iniciais, se fornecidas.

Resposta

A solução geral do sistema de EDO é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método da eliminação. Esteja certo de que na solução geral apareça o n mero apropriado de constantes arbitrárias:
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Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método de eliminação:
(h)
Resolva os seguintes sistemas de EDO
(f)
Resolva os seguintes sistemas de EDO
(i)