Resolva os seguintes sistemas de EDO
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) que você me passou. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com um sistema linear de EDOs. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os valores próprios (ou autovalores) e os vetores próprios (ou autovetores) da matriz dos coeficientes. Esses componentes vão nos ajudar a construir a solução geral do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz. Para isso, precisamos resolver a equação característica:
Onde
é a matriz dos coeficientes e
é a matriz identidade. Calculando:
O determinante dessa matriz é:
Expandindo:
Passo 3
Agora, resolvemos a equação quadrática
para encontrar os valores próprios. Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os valores próprios são
e
.
Passo 4
Como os valores próprios são complexos, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes. Vamos usar
.
Substituímos
na equação
:
Simplificando:
Resolvendo, temos:
Podemos escolher
, então:
Então, o vetor próprio correspondente é:
Passo 5
Com os valores e vetores próprios encontrados, podemos escrever a solução geral do sistema. Para valores próprios complexos da forma
e vetor próprio
, a solução geral é:
No nosso caso,
,
,
e
.
Passo 6
Substituindo esses valores na fórmula, a solução geral fica:
Simplificando as expressões:
Agrupando os termos semelhantes:
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais do problema.
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