Resolva os seguintes sistemas de EDO
(f)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) que você me passou. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com um sistema linear de EDOs. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os valores próprios (ou autovalores) e os vetores próprios (ou autovetores) da matriz dos coeficientes. Esses componentes vão nos ajudar a construir a solução geral do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz. Para isso, precisamos resolver a equação característica:
Onde é a matriz dos coeficientes e é a matriz identidade. Calculando:
O determinante dessa matriz é:
Expandindo:

Passo 3

Agora, resolvemos a equação quadrática para encontrar os valores próprios. Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os valores próprios são e .

Passo 4

Como os valores próprios são complexos, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes. Vamos usar .
Substituímos na equação :
Simplificando:
Resolvendo, temos:
Podemos escolher , então:
Então, o vetor próprio correspondente é:

Passo 5

Com os valores e vetores próprios encontrados, podemos escrever a solução geral do sistema. Para valores próprios complexos da forma e vetor próprio , a solução geral é:
No nosso caso, , , e .

Passo 6

Substituindo esses valores na fórmula, a solução geral fica:
Simplificando as expressões:
Agrupando os termos semelhantes:

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais do problema.

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