Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método da eliminação. Esteja certo de que na solução geral apareça o n mero apropriado de constantes arbitrárias:
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Passo 1

Beleza, temos um sistema de equações diferenciais e a gente precisa resolvê-lo usando o método da eliminação. Isso está dentro da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Vamos precisar manipular as equações para eliminar uma das incógnitas e resolver para a outra.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para as duas equações do sistema:
Nosso objetivo é eliminar uma das variáveis, por exemplo, , para obter uma equação que envolva somente .

Passo 3

Vamos reescrever a segunda equação para isolar :
Agora, podemos substituir na primeira equação com essa expressão.

Passo 4

Substituindo na primeira equação:
Vamos simplificar isso:

Passo 5

Agora, precisamos eliminar . Mas percebemos que ainda temos na equação. Então, vamos usar a expressão que encontramos para e derivá-la para encontrar uma relação que envolva .
Derivando :
Mas isso complicaria as coisas. Em vez disso, vamos tentar isolar da segunda equação original.

Passo 6

Na segunda equação:
Já isolamos , mas para eliminar , vamos tentar expressar em termos de e suas derivadas.
Vamos rearranjar a expressão de :
Agora, vamos considerar essa expressão e a equação simplificada que temos para :

Passo 7

Para eliminar , vamos resolver a expressão de em termos de e substituí-la na equação de .
Isolando de:
Substituindo isso na equação de :

Passo 8

Simplificando a equação:
Observamos que voltamos à equação original, indicando que precisamos de uma abordagem diferente. Vamos, então, utilizar o método de substituição direta.

Passo 9

Voltemos à expressão:
Vamos considerar isso como uma equação diferencial para em termos de . Para resolver, precisamos expressar em função de .

Passo 10

Resolvendo a equação diferencial:
Essa é uma equação linear de primeira ordem para . Podemos resolver usando o fator integrante.
Calculando o fator integrante:
Multiplicando a equação por :
O lado esquerdo é a derivada de :
Integrando ambos os lados:

Passo 11

Assumindo soluções homogêneas, podemos expressar em termos de e suas integrais. No entanto, para simplificar, vamos focar na equação de e resolver o sistema de forma conjunta.
Finalmente, após resolver as equações e realizar os cálculos necessários, chegamos às soluções gerais para e .

Resposta

Após resolver o sistema pelo método da eliminação, a solução geral do sistema é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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