Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método de eliminação:
(h) cx1^prime=x1+x2+x3 x2^prime=2 x1+x2-x3 x3^prime=-8 x1-5 x2-3 x3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando o método de eliminação. O que temos aqui são três equações que descrevem como as funções , e mudam ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas lineares e como encontrar soluções usando valores próprios (autovalores) e vetores próprios (autovetores).

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de uma forma mais organizada:
x1' = x1 + x2 + x3 x2' = 2x1 + x2 - x3 x3' = -8x1 -5x2 -3x3
Aqui, , e representam as derivadas das funções em relação ao tempo .

Passo 3

Agora, vamos escrever esse sistema na forma matricial, que facilita nosso trabalho:
x' = Ax
Onde:
A = 1 & 1 & 1 2 & 1 & -1 -8 & -5 & -3 , x = x1 x2 x3

Passo 4

Para encontrar as soluções desse sistema, precisamos encontrar os autovalores ( det(A - lambda I) = 0 ) da matriz . Isso envolve resolver a equação característica:
Onde é a matriz identidade.

Passo 5

Vamos calcular A - lambda I = 1 - lambda & 1 & 1 2 & 1 - lambda & -1 -8 & -5 & -3 - lambda :
det(A - lambda I) = (1 - lambda)[(1 - lambda)(-3 - lambda) - (-1)(-5)] - 1[2(-3 - lambda) - (-1)(-8)] + 1[2(-5) - (1 - lambda)(-8)]
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:

Passo 6

Resolvendo o determinante:
Simplificando cada termo:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(1 - lambda)(-3 - lambda) - 5 - 12(-3 - lambda) - 8 + 1 -10 + 8(1 - lambda)
(1 - lambda)[(-3 - lambda)(1 - lambda) - 5] = (1 - lambda)[-3(1 - lambda) - lambda(1 - lambda) - 5]
= (1 - lambda)[-3 + 3lambda - lambda + lambda^2 -5] = (1 - lambda)(lambda^2 + 2lambda -8)
-1[2(-3 - lambda) -8] = -1[-6 - 2lambda -8] = -1[-14 - 2lambda] = 14 + 2lambda
Juntando tudo:
1[-10 + 8(1 - lambda)] = -10 + 8 -8lambda = -2 -8lambda
(1 - lambda)(lambda^2 + 2lambda -8) +14 +2lambda -2 -8lambda = (lambda^2 +2lambda -8) -lambda(lambda^2 +2lambda -8) +12 -6lambda
= lambda^2 +2lambda -8 -lambda^3 -2lambda^2 +8lambda +12 -6lambda
Então, a equação característica é:
= -lambda^3 -lambda^2 +4lambda +4
Multiplicando por -1 para simplificar:
-lambda^3 -lambda^2 +4lambda +4 =0

Passo 7

Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação cúbica. Testando possíveis valores racionais (fatores de 4 divididos por fatores de 1), tentamos 1 +1 -4 -4 = -6 neq 0 :
-1 +1 +4 -4 =0
Tentando lambda^3 +lambda^2 -4lambda -4 = (lambda +1)(lambda^2 +0lambda -4) :
Funcionou! Então, é uma raiz. Agora, vamos fatorar da equação:
Então, as raízes são e as raízes de , que são e .

Passo 8

Agora que temos os autovalores A - (-1)I = 2 &1 &1 2 &2 &-1 -8 &-5 &-2 , vamos encontrar os autovetores correspondentes para cada 10-2.
Para cada A -2I = -1 &1 &1 2 &-1 &-1 -8 &-5 &-5 , resolvemos 110.
Para A -(-2)I = 3 &1 &1 2 &3 &-1 -8 &-5 &-1 :
1-23
Resolvendo isso, encontramos que o autovetor correspondente pode ser .
Para :
Resolvendo, obtemos .
Para :
Resolvendo, encontramos .

Passo 9

Com os autovalores e autovetores em mãos, a solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções individuais:
x(t) = C1 e^-1 t 10-2 + C2 e^2 t 110 + C3 e^-2 t 1-23
Onde , e são constantes que dependem das condições iniciais.

Resposta

A solução geral do sistema é:
x(t) = C1 e^-t 10-2 + C2 e^2 t 110 + C3 e^-2 t 1-23
Onde , e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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