Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método de eliminação:
(h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando o método de eliminação. O que temos aqui são três equações que descrevem como as funções , e mudam ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas lineares e como encontrar soluções usando valores próprios (autovalores) e vetores próprios (autovetores).
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de uma forma mais organizada:
Aqui, , e representam as derivadas das funções em relação ao tempo .
Passo 3
Agora, vamos escrever esse sistema na forma matricial, que facilita nosso trabalho:
Onde:
Passo 4
Para encontrar as soluções desse sistema, precisamos encontrar os autovalores () da matriz . Isso envolve resolver a equação característica:
Onde é a matriz identidade.
Passo 5
Vamos calcular :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 6
Resolvendo o determinante:
Simplificando cada termo:
Juntando tudo:
Então, a equação característica é:
Multiplicando por -1 para simplificar:
Passo 7
Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação cúbica. Testando possíveis valores racionais (fatores de 4 divididos por fatores de 1), tentamos :
Tentando :
Funcionou! Então, é uma raiz. Agora, vamos fatorar da equação:
Então, as raízes são e as raízes de , que são e .
Passo 8
Agora que temos os autovalores , vamos encontrar os autovetores correspondentes para cada .
Para cada , resolvemos .
Para :
Resolvendo isso, encontramos que o autovetor correspondente pode ser .
Para :
Resolvendo, obtemos .
Para :
Resolvendo, encontramos .
Passo 9
Com os autovalores e autovetores em mãos, a solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções individuais:
Onde , e são constantes que dependem das condições iniciais.
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde , e são constantes determinadas pelas condições iniciais.