Resolva os seguintes sistemas de EDO
(i)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO). O sistema é dado por:
Para resolver esse sistema, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes e autovalores (valores próprios), que nos ajudam a encontrar soluções para esse tipo de equação. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz dos coeficientes. Autovalores são números que nos dizem como a matriz age em certas direções.
A matriz dos coeficientes é:
Para achar os autovalores ( ), resolvemos o determinante da matriz , onde é a matriz identidade.
Calculando o determinante:
Expandindo:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos um autovalor repetido: .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o autovetor correspondente a . O autovetor satisfaz a equação:
Substituindo :
Isso nos dá o sistema:
Simplificando:
Então, um autovetor é:

Passo 4

Como temos um autovalor repetido, precisamos encontrar um autovetor generalizado. Isso ocorre porque a multiplicidade algébrica é maior que a multiplicidade geométrica.
Para isso, resolvemos , mas já temos um autovetor. Vamos encontrar um vetor tal que:
Substituindo e :
Isso nos dá o sistema:
Podemos simplificar dividindo por 4:
Vamos escolher , então . Portanto, um autovetor generalizado é:

Passo 5

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema. Para um autovalor repetido , a solução geral é:
Substituindo , , e :
Podemos simplificar:
Agrupando os termos:

Resposta

A solução geral do sistema de EDO é:
Onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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