Resolva os seguintes sistemas de EDO
(d) dd t(lx1 x2 x3)=(lll1 & 1 & 2 1 & 2 & 1 2 & 1 & 1)(lx1 x2 x3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) que você mandou! O que temos aqui é um sistema linear onde a derivada de um vetor depende dele mesmo através de uma matriz. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como autovalores e autovetores, além de entender como eles ajudam a construir a solução geral do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema para ficar mais claro:
ddt x1 x2 x3 = 1 & 1 & 2 1 & 2 & 1 2 & 1 & 1 x1 x2 x3
Aqui, a matriz dos coeficientes é:
A = 1 & 1 & 2 1 & 2 & 1 2 & 1 & 1
Nossa missão é encontrar a solução geral desse sistema, que geralmente envolve encontrar os autovalores (valores que satisfazem a equação característica) e os autovetores correspondentes.

Passo 3

Vamos começar encontrando os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Para isso, resolvemos a equação característica:
A - lambda I = 1-lambda & 1 & 2 1 & 2-lambda & 1 2 & 1 & 1-lambda
Onde det(A - lambda I) = (1-lambda)[(2-lambda)(1-lambda) - 1] - 1[1(1-lambda) - 2] + 2[1 cdot 1 - (2-lambda) cdot 2] é a matriz identidade de ordem 3. Calculando:
lambda^3 - 4lambda^2 - lambda + 4 = 0
Calculando o determinante:
lambda1 = 1, lambda2 = 4, lambda3 = -1
Simplificando isso, chegamos à equação cúbica:
Resolvendo essa equação, encontramos os autovalores:

Passo 4

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1 2 & 1 & 0 x1 x2 x3 = 0 0 0 .
Para v1 = 1 -2 1 :
Resolvemos -3 & 1 & 2 1 & -2 & 1 2 & 1 & -3 x1 x2 x3 = 0 0 0 :

[
v2 = 1 1 1
2 & 1 & 2 1 & 3 & 1 2 & 1 & 2 x1 x2 x3 = 0 0 0

v3 = -1 0 1
]
Resolvendo, encontramos que um autovetor correspondente é:
Para :
Resolvemos :

[


]
Resolvendo, encontramos que um autovetor correspondente é:
Para :
Resolvemos :

[


]
Resolvendo, encontramos que um autovetor correspondente é:

Passo 5

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos montar a solução geral do sistema. Cada parte da solução é dada por um autovetor multiplicado por uma constante e uma exponencial que envolve o autovalor correspondente.
Assim, a solução geral é:
x(t) = C1 e^lambda1 t v1 + C2 e^lambda2 t v2 + C3 e^lambda3 t v3
Substituindo os valores que encontramos:
x(t) = C1 e^t 1 -2 1 + C2 e^4t 1 1 1 + C3 e^-t -1 0 1

Resposta

A solução geral do sistema é:
x(t) = C1 e^t 1 -2 1 + C2 e^4t 1 1 1 + C3 e^-t -1 0 1
Onde , e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados