Resolva os seguintes sistemas de EDO
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) que você mandou! O que temos aqui é um sistema linear onde a derivada de um vetor depende dele mesmo através de uma matriz. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como autovalores e autovetores, além de entender como eles ajudam a construir a solução geral do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema para ficar mais claro:
Aqui, a matriz dos coeficientes é:
Nossa missão é encontrar a solução geral desse sistema, que geralmente envolve encontrar os autovalores (valores que satisfazem a equação característica) e os autovetores correspondentes.

Passo 3

Vamos começar encontrando os autovalores da matriz . Para isso, resolvemos a equação característica:
Onde é a matriz identidade de ordem 3. Calculando:
Calculando o determinante:
Simplificando isso, chegamos à equação cúbica:
Resolvendo essa equação, encontramos os autovalores:

Passo 4

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada .
Para :
Resolvemos :

[


]
Resolvendo, encontramos que um autovetor correspondente é:
Para :
Resolvemos :

[


]
Resolvendo, encontramos que um autovetor correspondente é:
Para :
Resolvemos :

[


]
Resolvendo, encontramos que um autovetor correspondente é:

Passo 5

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos montar a solução geral do sistema. Cada parte da solução é dada por um autovetor multiplicado por uma constante e uma exponencial que envolve o autovalor correspondente.
Assim, a solução geral é:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde , e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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