Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método de eliminação:
(f)

Passo 1

Vamos entender o problema! Temos um sistema de equações diferenciais onde queremos encontrar as funções e . O conteúdo que vamos usar é o método de eliminação para resolver sistemas de equações diferenciais. Para isso, vamos precisar manipular as equações para eliminar uma das variáveis e resolver para a outra.

Passo 2

Primeiro, escrevemos o sistema de equações:
Aqui, e representam as derivadas de e em relação a .

Passo 3

Nosso objetivo é eliminar uma das variáveis para obter uma equação em uma única função. Vamos eliminar . Para isso, podemos isolar na primeira equação e substituir na segunda.

Passo 4

Isolamos na primeira equação:

Passo 5

Agora, substituímos essa expressão de na segunda equação do sistema:

Passo 6

Calculamos a derivada à esquerda:

Passo 7

Simplificamos a equação substituindo na igualdade:

Passo 8

Multiplicamos todos os termos por 2 para eliminar os denominadores:
Simplificando:

Passo 9

Rearranjamos a equação para obter uma equação diferencial de segunda ordem:

Passo 10

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
A equação característica é:

Passo 11

A solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes de integração.

Passo 12

Agora, encontramos uma solução particular para a equação completa. Observamos que o termo não homogêneo é . Vamos tentar uma solução particular da forma:

Passo 13

Derivamos e substituímos na equação diferencial para encontrar os coeficientes . Após calcular e igualar os coeficientes dos termos semelhantes, encontramos os valores de .

Passo 14

Finalmente, a solução geral do sistema é a soma da solução homogênea com a particular:

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde , , , , e são constantes determinadas pelas condições iniciais do problema.

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