Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método de eliminação:
(f)
(f)
Passo 1
Vamos entender o problema! Temos um sistema de equações diferenciais onde queremos encontrar as funções
e
. O conteúdo que vamos usar é o método de eliminação para resolver sistemas de equações diferenciais. Para isso, vamos precisar manipular as equações para eliminar uma das variáveis e resolver para a outra.
Passo 2
Primeiro, escrevemos o sistema de equações:
Aqui,
e
representam as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Nosso objetivo é eliminar uma das variáveis para obter uma equação em uma única função. Vamos eliminar
. Para isso, podemos isolar
na primeira equação e substituir na segunda.
Passo 4
Isolamos
na primeira equação:
Passo 5
Agora, substituímos essa expressão de
na segunda equação do sistema:
Passo 6
Calculamos a derivada à esquerda:
Passo 7
Simplificamos a equação substituindo na igualdade:
Passo 8
Multiplicamos todos os termos por 2 para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Passo 9
Rearranjamos a equação para obter uma equação diferencial de segunda ordem:
Passo 10
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
A equação característica é:
Passo 11
A solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 12
Agora, encontramos uma solução particular
para a equação completa. Observamos que o termo não homogêneo é
. Vamos tentar uma solução particular da forma:
Passo 13
Derivamos
e substituímos na equação diferencial para encontrar os coeficientes
. Após calcular e igualar os coeficientes dos termos semelhantes, encontramos os valores de
.
Passo 14
Finalmente, a solução geral do sistema é a soma da solução homogênea com a particular:
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
,
,
,
,
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais do problema.
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