Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais ordinárias (EDOs) que o exercício propôs. A gente vai usar o conteúdo de sistemas lineares de EDOs com matrizes, mais especificamente a solução de sistemas lineares utilizando autovalores e autovetores. Para isso, vamos precisar encontrar os autovalores da matriz dada e, em seguida, os autovetores correspondentes. Com essas informações, a gente consegue montar a solução geral do sistema.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Para isso, resolvemos a equação característica, que é dada por:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Calculando :
Agora, calculamos o determinante:
Expandindo:
Então:
Resolvend0 :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são:
Passo 3
Agora que temos os autovalores e , vamos encontrar os autovetores correspondentes para cada um.
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá o sistema:
Observamos que as duas equações são equivalentes. Então, podemos escolher , o que dá . Portanto, um autovetor associado a é:
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá o sistema:
Novamente, as duas equações são equivalentes. Escolhendo , temos . Portanto, um autovetor associado a é:
Passo 4
Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos montar a solução geral do sistema de EDOs. A solução é uma combinação linear das soluções associadas a cada autovalor e autovetor:
Substituindo os valores encontrados:
Onde e são constantes que seriam determinadas por condições iniciais, se fornecidas.
Resposta
A solução geral do sistema de EDOs é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.