Resolva os seguintes sistemas de EDO
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais ordinárias (EDOs) que você enviou. O problema envolve matrizes e soluções de sistemas lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de autovalores e autovetores, que são fundamentais na teoria de sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz do sistema. A equação dada é:
Aqui, a matriz dos coeficientes é:
Passo 3
Para resolver esse sistema, precisamos encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores são valores de
que satisfazem a equação característica:
Onde
é a matriz identidade de mesma dimensão que
.
Passo 4
Vamos calcular a determinante
:
Passo 5
Resolvendo a equação característica:
Então, os autovalores são
e
.
Passo 6
Com os autovalores encontrados, podemos escrever a solução geral do sistema usando exponenciais complexas. A solução geral é dada por:
Onde:
-
é a parte real dos autovalores. -
é a parte imaginária dos autovalores. -
é o autovetor correspondente a . -
e são constantes que serão determinandas pelas condições iniciais.
Passo 7
Para simplificar, vamos encontrar um autovetor
correspondente a
. Resolvendo
:
Isso resulta nas equações:
Resolvendo, encontramos que
. Podemos escolher
, então
.
Passo 8
Substituindo os valores encontrados na solução geral, obtemos:
Simplificando, temos as soluções para
e
:
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais do problema.