Resolva os seguintes sistemas de EDO
(g)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais ordinárias (EDOs) que você enviou. O problema envolve matrizes e soluções de sistemas lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de autovalores e autovetores, que são fundamentais na teoria de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz do sistema. A equação dada é:
Aqui, a matriz dos coeficientes é:

Passo 3

Para resolver esse sistema, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são valores de que satisfazem a equação característica:
Onde é a matriz identidade de mesma dimensão que .

Passo 4

Vamos calcular a determinante :

Passo 5

Resolvendo a equação característica:
Então, os autovalores são e .

Passo 6

Com os autovalores encontrados, podemos escrever a solução geral do sistema usando exponenciais complexas. A solução geral é dada por:
Onde:
  • é a parte real dos autovalores.
  • é a parte imaginária dos autovalores.
  • é o autovetor correspondente a .
  • e são constantes que serão determinandas pelas condições iniciais.

Passo 7

Para simplificar, vamos encontrar um autovetor correspondente a . Resolvendo :
Isso resulta nas equações:
Resolvendo, encontramos que . Podemos escolher , então .

Passo 8

Substituindo os valores encontrados na solução geral, obtemos:
Simplificando, temos as soluções para e :

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais do problema.

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