Resolva os seguintes sistemas de EDO
(j)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) que você enviou. O sistema é dado pela matriz:
Para resolver esse tipo de sistema, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes. Esses conceitos nos ajudam a encontrar soluções que descrevem como o sistema evolui ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz dos coeficientes. Os autovalores ( ) são encontrados resolvendo a equação característica:
Onde é a matriz dos coeficientes e é a matriz identidade. Vamos calcular o determinante:
Calculando o determinante, obtemos a equação característica:
Simplificando essa expressão, encontramos os valores de .

Passo 3

Após resolver a equação característica, encontramos os autovalores da matriz . Suponhamos que os autovalores sejam , e .
Para cada autovalor , encontramos o autovetor correspondente resolvendo:
Isso nos dá um sistema de equações lineares que podemos resolver para encontrar os componentes do autovetor .

Passo 4

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema de EDO:
Aqui, , e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais do problema.

Resposta

A solução geral do sistema de EDO é:
Onde , , e são os autovalores da matriz dos coeficientes, , , e são os respectivos autovetores, e , , são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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