Para resolver esse tipo de sistema, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes. Esses conceitos nos ajudam a encontrar soluções que descrevem como o sistema evolui ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz dos coeficientes. Os autovalores ( det(A - lambda I) = 0 ) são encontrados resolvendo a equação característica:
Onde (1 - lambda)[(1 - lambda)(1 - lambda) - (-1)(-1)] - 1[2(1 - lambda) - (-1)(0)] + 1[2(-1) - (1 - lambda)(0)] = 0 é a matriz dos coeficientes e é a matriz identidade. Vamos calcular o determinante:
Calculando o determinante, obtemos a equação característica:
Simplificando essa expressão, encontramos os valores de .
Passo 3
Após resolver a equação característica, encontramos os autovalores da matriz (A - lambdai I)vi = 0 . Suponhamos que os autovalores sejam , e .
Para cada autovalor , encontramos o autovetor correspondente resolvendo:
Isso nos dá um sistema de equações lineares que podemos resolver para encontrar os componentes do autovetor .
Passo 4
Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema de EDO:
x(t) = c1 v1 e^lambda1 t + c2 v2 e^lambda2 t + c3 v3 e^lambda3 t
Aqui, , e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais do problema.
Resposta
A solução geral do sistema de EDO é:
x(t) = c1 v1 e^lambda1 t + c2 v2 e^lambda2 t + c3 v3 e^lambda3 t
Onde , , e são os autovalores da matriz dos coeficientes, , , e são os respectivos autovetores, e , , são constantes determinadas pelas condições iniciais.