Resolva os seguintes sistemas de EDO
(j) dd t(lx1 x2 x3)=(ccc1 & 1 & 1 2 & 1 & -1 0 & -1 & 1)(lx1 x2 x3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) que você enviou. O sistema é dado pela matriz:
ddtx1 x2 x3 = 1 & 1 & 1 2 & 1 & -1 0 & -1 & 1x1 x2 x3
Para resolver esse tipo de sistema, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes. Esses conceitos nos ajudam a encontrar soluções que descrevem como o sistema evolui ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz dos coeficientes. Os autovalores ( det(A - lambda I) = 0 ) são encontrados resolvendo a equação característica:
det 1 - lambda & 1 & 1 2 & 1 - lambda & -1 0 & -1 & 1 - lambda = 0
Onde (1 - lambda)[(1 - lambda)(1 - lambda) - (-1)(-1)] - 1[2(1 - lambda) - (-1)(0)] + 1[2(-1) - (1 - lambda)(0)] = 0 é a matriz dos coeficientes e é a matriz identidade. Vamos calcular o determinante:
Calculando o determinante, obtemos a equação característica:
Simplificando essa expressão, encontramos os valores de .

Passo 3

Após resolver a equação característica, encontramos os autovalores da matriz (A - lambdai I)vi = 0 . Suponhamos que os autovalores sejam , e .
Para cada autovalor , encontramos o autovetor correspondente resolvendo:
Isso nos dá um sistema de equações lineares que podemos resolver para encontrar os componentes do autovetor .

Passo 4

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema de EDO:
x(t) = c1 v1 e^lambda1 t + c2 v2 e^lambda2 t + c3 v3 e^lambda3 t
Aqui, , e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais do problema.

Resposta

A solução geral do sistema de EDO é:
x(t) = c1 v1 e^lambda1 t + c2 v2 e^lambda2 t + c3 v3 e^lambda3 t
Onde , , e são os autovalores da matriz dos coeficientes, , , e são os respectivos autovetores, e , , são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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