Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método de eliminação:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente resolver um sistema de equações diferenciais usando o método de eliminação. Estamos trabalhando com equações diferenciais aqui. Para resolver, vamos precisar eliminar uma das incógnitas para achar a outra e depois voltar para encontrar a primeira.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que temos:
Nosso objetivo é eliminar uma das variáveis para conseguir resolver uma equação diferencial de ordem superior para a outra.
Passo 3
Vamos tentar eliminar
. Para isso, expressamos
da segunda equação:
Agora, substituímos essa expressão de
na primeira equação:
Passo 4
Vamos calcular a derivada do lado esquerdo:
Agora, expandimos o lado direito:
Então, temos:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação:
Isso simplifica para:
Ou seja:
Passo 6
Agora temos uma equação diferencial de segunda ordem para
:
Vamos resolver essa equação encontrando a solução geral, que é a soma da solução da homogênea (
) e da particular (
).
Passo 7
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
A solução geral da homogênea é:
Passo 8
Agora, encontramos uma solução particular (
) para a equação completa:
Proponho uma solução particular da forma:
Passo 9
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo na equação diferencial:
Passo 10
Agrupamos os termos semelhantes:
Simplificando:
Passo 11
Agora, igualamos os coeficientes de cada termo:
Para
:
Para constantes:
Para
:
Para
:
Passo 12
Então, a solução particular é:
Passo 13
A solução geral para
é a soma da homogênea e da particular:
Passo 14
Agora, voltamos para encontrar
usando a expressão que encontramos anteriormente:
Vamos calcular
:
Substituindo na expressão de
:
Simplificando:
Agrupando os termos:
Resposta
A solução geral do sistema é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais do problema.