Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método de eliminação:
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente resolver um sistema de equações diferenciais usando o método de eliminação. Estamos trabalhando com equações diferenciais aqui. Para resolver, vamos precisar eliminar uma das incógnitas para achar a outra e depois voltar para encontrar a primeira.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que temos:
Nosso objetivo é eliminar uma das variáveis para conseguir resolver uma equação diferencial de ordem superior para a outra.

Passo 3

Vamos tentar eliminar . Para isso, expressamos da segunda equação:
Agora, substituímos essa expressão de na primeira equação:

Passo 4

Vamos calcular a derivada do lado esquerdo:
Agora, expandimos o lado direito:
Então, temos:

Passo 5

Vamos simplificar essa equação:
Isso simplifica para:
Ou seja:

Passo 6

Agora temos uma equação diferencial de segunda ordem para :
Vamos resolver essa equação encontrando a solução geral, que é a soma da solução da homogênea ( ) e da particular ( ).

Passo 7

Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
A solução geral da homogênea é:

Passo 8

Agora, encontramos uma solução particular ( ) para a equação completa:
Proponho uma solução particular da forma:

Passo 9

Calculamos as derivadas de :
Substituindo na equação diferencial:

Passo 10

Agrupamos os termos semelhantes:
Simplificando:

Passo 11

Agora, igualamos os coeficientes de cada termo:
Para :
Para constantes:
Para :
Para :

Passo 12

Então, a solução particular é:

Passo 13

A solução geral para é a soma da homogênea e da particular:

Passo 14

Agora, voltamos para encontrar usando a expressão que encontramos anteriormente:
Vamos calcular :
Substituindo na expressão de :
Simplificando:
Agrupando os termos:

Resposta

A solução geral do sistema é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais do problema.

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