Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método de eliminação:
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando o método de eliminação. Estamos trabalhando com equações diferenciais lineares, onde temos duas funções, e , que dependem do tempo . Para resolver esse sistema, precisamos eliminar uma das variáveis para encontrar uma equação que envolva apenas uma função, facilitando assim a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações para visualizar melhor:
Nosso objetivo é eliminar uma das variáveis, seja ou , para obter uma equação diferencial de ordem superior para a outra variável.
Passo 3
Vamos começar expressando da primeira equação em termos de , e :
Agora, substituímos essa expressão de na segunda equação do sistema:
Simplificando:
Passo 4
Agora, queremos uma equação que envolva apenas . Para isso, observamos que temos na equação acima. Vamos derivar a primeira equação do sistema para expressar em termos de e :
Derivando :
Substituímos da equação anterior:
Simplificando:
Passo 5
Agora, voltamos à expressão de que encontramos no Passo 3:
Queremos expressar em termos de e :
Substituímos essa expressão na equação que obtivemos no Passo 4:
Simplificando:
Passo 6
Agora, temos uma equação diferencial de segunda ordem para :
Para resolver essa equação, vamos encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular.
Passo 7
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
Característica da equação:
Como temos raízes repetidas, a solução geral da homogênea é:
Passo 8
Agora, encontramos uma solução particular para a equação completa . Vamos assumir que a solução particular tem a forma:
Derivando:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Agrupando os termos:
Igualando os coeficientes:
Portanto, a solução particular é:
Passo 9
A solução geral para é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 10
Agora que temos , vamos encontrar usando a relação que encontramos anteriormente:
Primeiro, calculamos :
Simplificando:
Substituindo na express��o de :
Simplificando:
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais específicas.